沈阳铁西区数学家教高考数学难点突破14__数列综合应用问题

难点14数列综合应用问题纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.●难点磁场(★★★★★)已知二次函数y=f(x)在x=22t处取得最小值－42t(t＞0),f(1)=0.(1)求y=f(x)的表达式；(2)若任意实数x都满足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1［g(x)］为多项式，n∈N*),试用t表示an和bn；(3)设圆Cn的方程为(x－an)2+(y－bn)2=rn2，圆Cn与Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各项都是正数的等比数列，记Sn为前n个圆的面积之和，求rn、Sn.●案例探究［例1］从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？命题意图：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型，属★★★★★级题目.知识依托：本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.错解分析：(1)问an、bn实际上是两个数列的前n项和，易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差.技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧.解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－51)万元，…第n年投入为800×(1－51)n－1万元，所以，n年内的总投入为an=800+800×(1－51)+…+800×(1－51)n－1=nk1800×(1－51)k－1=4000×［1－(54)n］第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+41)，…，第n年旅游业收入400×(1+41)n－1万元.所以，n年内的旅游业总收入为bn=400+400×(1+41)+…+400×(1+41)k－1=nk1400×(45)k－1.=1600×［(45)n－1］(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn－an＞0，即：1600×［(45)n－1］－4000×［1－(54)n］＞0，令x=(54)n，代入上式得：5x2－7x+2＞0.解此不等式，得x＜52，或x＞1(舍去).即(54)n＜52，由此得n≥5.∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.［例2］已知Sn=1+3121+…+n1,(n∈N*)设f(n)=S2n+1－Sn+1,试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式：f(n)＞［logm(m－1)］2－2011［log(m－1)m］2恒成立.命题意图：本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙.错解分析：本题学生很容易求f(n)的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理.技巧与方法：解决本题的关键是把f(n)(n∈N*)看作是n的函数，此时不等式的恒成立就转化为：函数f(n)的最小值大于［logm(m－1)］2－2011［log(m－1)m］2.解：∵Sn=1+3121+…+n1.(n∈N*)0)421321()421221(42232122121321221)()1(1213121)(112nnnnnnnnnnnfnfnnnSSnfnn又∴f(n+1)＞f(n)∴f(n)是关于n的增函数∴f(n)min=f(2)=209321221∴要使一切大于1的自然数n，不等式f(n)＞［logm(m－1)］2－2011［log(m－1)m］2恒成立只要209＞［logm(m－1)］2－2011［log(m－1)m］2成立即可由11,011,0mmmm得m＞1且m≠2此时设［logm(m－1)］2=t则t＞0于是02011209tt解得0＜t＜1由此得0＜［logm(m－1)］2＜1解得m＞251且m≠2.●锦囊妙计1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题.2.纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关：(1)事理关：需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力.(2)文理关：需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系.(3)事理关：在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)已知二次函数y=a(a+1)x2－(2a+1)x+1，当a=1，2，…，n，…时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1,d2，…,dn,…,则limn(d1+d2+…+dn)的值是()A.1B.2C.3D.4二、填空题2.(★★★★★)在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2，4依次成等差数列，而1，y1，y2，8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是_________.3.(★★★★)从盛满a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加满，再倒出b升，再用水加满；这样倒了n次，则容器中有纯酒精_________升.4.(★★★★★)据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“十·五”期间(2001年~2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元.三、解答题5.(★★★★★)已知数列{an}满足条件：a1=1,a2=r(r＞0),且{anan+1}是公比为q(q＞0)的等比数列，设bn=a2n－1+a2n(n=1,2,…).(1)求出使不等式anan+1+an+1an+2＞an+2an+3(n∈N*)成立的q的取值范围；(2)求bn和nnS1lim，其中Sn=b1+b2+…+bn；(3)设r=219.2－1，q=21，求数列{nnbb212loglog}的最大项和最小项的值.6.(★★★★★)某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金nb元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.(1)设ak(1≤k≤n)为第k位职工所得奖金金额，试求a2,a3，并用k、n和b表示ak(不必证明)；(2)证明ak＞ak+1(k=1,2,…,n－1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义；(3)发展基金与n和b有关，记为Pn(b),对常数b，当n变化时，求limnPn(b).7.(★★★★)据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到7.4×108吨，占地562.4平方公里，若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问：(1)2001年回收废旧物资多少吨？(2)从1996年至2001年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)？(3)从1996年至2001年可节约多少平方公里土地？8.(★★★★★)已知点的序列An(xn，0),n∈N,其中x1=0,x2=a(a＞0),A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An－2An－1的中点，….(1)写出xn与xn－1、xn－2之间关系式(n≥3);(2)设an=xn+1－xn，计算a1,a2,a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明；(3)求limnxn.参考答案难点磁场解：(1)设f(x)=a(x－22t)2－42t，由f(1)=0得a=1.∴f(x)=x2－(t+2)x+t+1.(2)将f(x)=(x－1)［x－(t+1)］代入已知得：(x－1)［x－(t+1)］g(x)+anx+bn=xn+1，上式对任意的x∈R都成立，取x=1和x=t+1分别代入上式得：1)1()1(1nnnnntbatba且t≠0，解得an=t1［(t+1)n+1－1］，bn=tt1［1－(t+1]n)(3)由于圆的方程为(x－an)2+(y－bn)2=rn2，又由(2)知an+bn=1，故圆Cn的圆心On在直线x+y=1上，又圆Cn与圆Cn+1相切，故有rn+rn+1=2｜an+1－an｜=2(t+1)n+1设{rn}的公比为q，则①②2111)1(2)1(2nnnnnntqrrtqrr②÷①得q=nnrr1=t+1，代入①得rn=2)1(21ttn∴Sn=π(r12+r22+…+rn2)=342221)2()1(21)1(tttqqrn［(t+1)2n－1］歼灭难点训练一、1.解析：当a=n时y=n(n+1)x2－(2n+1)x+1由｜x1－x2｜=a，得dn=)1(1nn，∴d1+d2+…+dn1)111(lim)(lim1111113121211)1(132121121ndddnnnnnnnn答案：A二、2.解析：由1,x1,x2,4依次成等差数列得：2x1=x2+1,x1+x2=5解得x1=2,x2=3.又由1，y1,y2,8依次成等比数列，得y12=y2,y1y2=8,解得y1=2,y2=4,∴P1(2,2),P2(3,4).∴21),2,2(OPOP=(3,4)∴,5||,22,14862121OPOPOPOP110252221sin||||21102sin,102722514||||cos21212121212121OPPOPOPSOPPOPOPOPOPOPPPOP答案：13.解析：第一次容器中有纯酒精a－b即a(1－ab)升，第二次有纯酒精a(1－ab)－baaba)1(，即a(1－ab)2升，故第n次有纯酒精a(1－ab)n升.答案：a(1－ab)n4.解析：从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7.3%为公比的等比数列，∴a5=95933(1+7.3%)4≈120000(亿元).答案：120000三、5.解：(1)由题意得rqn－1+rqn＞rqn+1.由题设r＞0,q＞0,故从上式可得：q2－q－1＜0，解得251＜q＜251,因q＞0,故0＜q＜251;(2)∵0,212212212221212121qaaqaqaaaaabbqaaaaaannnnnnnnnnnnnnnn.b