新北师大版九年级数学上第四章图形的相似42平行线分线段成比例定理

复习回顾比例的性质:)(,)1(反比性质cdab)(,)2(合比性质ddcbba)(,)3(等比性质badbca那么如果,dcba如何证明?复习回顾平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。推论2经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰。推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第边。ll1l3l2l1A2A3A2B3B3lll1A1B2A2B3A3B2l1l1l3lll1A1B2l2A2B3B3A如何不通过测量,运用所学知识,利用你现在手中的东西快速将一条长5厘米的细线分成两部分,使这两部分之比是2:3?32则BCABABC探究平行线等分线段定理的条件相邻的两条平行线间的距离相等观察:如图,两条直线被一组平行线所截,当平行线间的距离不相等时,得截得的线段AB与BC,DE与EF之间有什么关系?ll1l3l2lABCDEF显然AB=BC,DE=EF探究:?相等吗与EFDEBCAB？那么32若EFDE，,BCAB？那么43若EFDE,，BCAB猜想：3243你能否利用所学过的相关知识进行说明？ABCDEFl1l2l332BCAB考察设线段AB的中点为P1，线段BC的三等分点为P2、P3.P1P2P3Q1Q2Q3a1a1a3则：.32EFDEBCAB这时你想到了什么？AP1=P1B=BP2=P2P3=P3CDQ1=Q1E=EQ2=Q2Q3=Q3F平行线等分线段定理分别过点P1,P2,P3作直线a1,a2,a3平行于l1,与l的交点分别为Q1,Q2,Q3.ll可证依照上面方法倍是长度单位的倍的是长度单位时是互质的正整数有理数当,,,.),(nBCmABnmnmBCAB.EFDEBCAB有,32时当BCAB仍然有是实数时当,BCAB.EFDEBCAB.EFDEBCABll1l3l2lABCDEFDEEFABBCDFDEACABDEDFABACEFDFBCACDFEFACBCDFACEFBCDEABEFDEBCABEFBCDEABDFACEFBC?反比合比合比反比合比ll1l3l2lABCDEF根据比例的性质由可得:运用比例性质,由还可得到比例式:EFDEBCABDEEFABBCDFDEACABDFEFACBC上下上下全上全上全下全下ll1l3l2lABCDEF上述结论用语言如何描述平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.符号语言：ll1l3l2lABCDEF123,l//l//lABDEBCEF平行线分线段成比例定理推论:ABCl1l2l3DEFABCl1l2l3DF平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.平行线分线段成比例定理推论:ABCDE“A”字图形ABCED“8”字图形表达式：∵DE∥BC，∴=.ADAEABAC这是今后最常用的两个基本图形.平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何联系？ABCDEFABCDEF1当BCAB1当BCAB结论：后者是前者的一种特殊情况！如图，有一块形状为直角梯形的草地，周围均为水泥直道，两个拐角A、B处均为直角，草地中间另有一条水泥直道EF垂直于AB，垂足为E.已知AE长a米，EB长b米，DF长c米.求CF.ABCDabc?EF)米(即,90解：由题：由题意0abcCFCFcbaCFDFEBAEAD//EF//BCAB，EFBA例1：如图,△ABC中,DE//BC,DF//AC,AE=4,EC=2,BC=8.求BF和CF的长.解：.//BCDE42163.()ADAEABAC.//ACDF)2(.CBCFABAD由（1）（2）式得：.316CF.832即CF.383168BF824FACBDE尝试应用例2：如图，△ABC中，DE//BC,EF//CD.求证：AD是AB和AF的比例中项.证明：在△ABC中，.//BCDE)1(.AEACADAB在△ADC中.//DCEF)2(.AEACAFAD由（1）（2）式得：.AFADADAB.2AFABAD即AD是AB和AF的比例中项。FEBACD定理表明三条平行线可以把两条线段的比等值地进行传递：(截得的线段的长度变化,但比值不变.)A1A2A3B1B2B3C1C2C3已知:△ABC中DE//BC,DE分别交AB,AC于点D,E.ABCDEF.BCDEACAEABAD分析：构造一组平行线,使AE,AC,DE,BC为其截得的线段.例3：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形,所截得的三角形三边与原三角形三边对应成比例.求证：DE//BCACAEABADEF//ABBCBFACAEDE=BFBCDEACAEABAD例3已知:△ABC中,DE//BC,DE分别交AB,AC于点D,E.求证：.BCDEACAEABAD证明:过点E作EF//AB,交BC于点F..,ACAEBCBFACAEABAD,//,//ABEFBCDE且四边形DEFB为平行四边形..BFDE.BCDEACAE.BCDEACAEABADABCDEF如图,直线l1,l2被三个平行平面,,所截,直线l1与它们的交点分别为A,B,C,直线l2分别为D,E,F?相等吗与EFDEBCAB探究GH课本P9思考:平行线截线段成比例在空间成立吗?如果将平行线改为平面呢?三.平行线分线段成比例定理的推广探究:平行线改为平面后，应考虑两种情形：lABCDEFABCDEFll共面与ll异面与ll1lGPQR.EFDEBCAB如图,∠ACB=900,以BC为边作正方形BEDC,连接AE,交BC于F,FG//AC.求证FC=FG。证明：BE//AC//FGAEAFBEFG又CF//DE，AEAFDECF∴DECFBEGF∴CF=GF练习一、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.（关键要能熟练地找出对应线段）小结二、要熟悉该定理的几种基本图形ABCDEFABCDEF三、注意该定理在三角形中的应用作业1、已知AB、CD为梯形ABCD的底，对角线AC、BD的交点为O，且AB=8，CD=6,BD=15，求OB、OD的长。2、如图，在△ABC中，作平行于BC的直线交AB于D，交AC于E，如果BE和CD相交于O，AO和DE相交于F，AO的延长线和BC交于G。证明：（1）（2）BG=GCFEDFGCBG4、如图，梯形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，EF∥AD，假设EF作上下平行移动，ADBCEF：，EBAE2321)1(求证如果ADBCEF：，EBAE32532)2(求证如果。，nmEBAE，什么结论那么可以得到即如果请你探究一般结论)3(3、如图，A、B两点间隔一个湖泊，因而A、B两点间的距离无法直接测量，请你设计一个间接测量AB长度的方案，并说明所设计方案的合理性。ABCDE思考：.,//ACAEABADBCDE有时当?//,是否成立呢时当BCDEACAFABADACAEABADACABEDABC且上分别在边点中已知,,,,:.//:BCDE求证.ACAEABAD.EAAE..重合与直线即直线重合与点因此点DEEDEE.//BCDE所以(?).ACEAABAD则于点交作直线过证明.,//:EACBCEDDE引理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。同一法三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例ADCBEDCBDACABABAFACAE,ABAFAEAGBCEFBEFG//,//证明：如图，BE=BC，ABAFACAEAEAG求证：FG=EF。ACAEBCEFAEAGBEFG,,ACAEAEAGBCEFBEFGEFFGBCBE,