新师大高代期末试题及答案A

《高等代数》试卷（A卷）第1页共4页新疆师范大学数学科学学院2013-2014学年第一学期考试试卷《高等代数》试卷（A卷）专业数学与应用数学班级2013-12姓名学号题号一二三四五六总分得分一、判断题（共6小题，每小题3分，共18分）1．设A是一切实数构成的集合,规则baba),(是集合A的代数运算。（）2.在六阶行列式的展开式中，项456153341622aaaaaa取“-”号。（）3．零多项式能被任意多项式整除。（）4.任意一个次数大于零的多项式在实数域上一定有根。（）5.多项式242322214321),,,(xxxxxxxxf是一个对称多项式。（）6.若含有n个未知量n个方程的线性方程组系数行列式不等于零，则方程组只有惟一解。（）二、填空题（共7小空，每小空3分，共21分）1.多项式122)(34xxxxf在有理数域上的根是；。2.求一个次数小于3的多项式)(xf=，使得3)1(f，0)2(f，4)1(f。3.设3次多项式)(xf的根为1和二重根-2，则)(xf=。4.三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaa中（3，2）元32a的余子式是，代数余子式是。5.排列13．．．(2n-1)(2n)(2n-2)．．．2的反序数是。《高等代数》试卷（A卷）第2页共4页三、计算题（共3小题，每小题10分，共30分）1.计算n阶行列式xaaaxaaaxDn2.a取何值时，非齐次线性方程组,42,3)2(32,12321321321xaxxxaxxxxx（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？当有无穷解时，求出它的解。《高等代数》试卷（A卷）第3页共4页3.在有理数域上分解多项式8465)(234xxxxxf。四、证明题1.设)()()(1xfxdxf，)()()(1xgxdxg。证明：若)())(),((xdxgxf，且)(xf和)(xg不全为零，则1))(),((11xgxf；反之，若1))(),((11xgxf，则)(xd是)(xf和)(xg的一个最大公因式。(本小题11分)2.设)(xf是一个整系数多项式。证明：若是)0(f和)1(f都是奇数，那么)(xf不能有整数根。(本小题10分)《高等代数》试卷（A卷）第4页共4页3．证明：含有n个未知量1n个方程的线性方程组1,111,11111111nnnnnnnnnnnnbxaxabxaxabxaxa有解的必要条件是行列式01,11,111111nnnnnnnnnbaabaabaa。这个条件不是充分的，试举一反例。(本小题10分)新疆师范大学数学科学学院2013-2014学年第一学期考试试卷答案《高等代数》试卷（A卷）专业数学与应用数学班级2013-12姓名学号一、判断题（共6小题，每小题3分，共18分）1．×2.√3．√4.×5.√6.√《高等代数》试卷（A卷）第5页共4页二、填空题（共7小空，每小空3分，共21分）1.-1；21。2.2)35()2(xx，3.4323xx。4.23112113aaaa，23112113aaaa。5.)1(nn。三、计算题（共3小题，每小题10分，共30分）1.解一：利用各列的元素之和相同，提取公因式。xaaaxaanxanxanxrrrDnn)1()1()1(21（4分）xaaaxaanx111])1([（6分）axaxanxnicci01])1([),,2(1（8分）])1([)(1anxaxn。（10分）解二：axxaaxaxxaaaaxnirrDin),,2(1（4分）axaxaaanxnicci)1(),,2(1（8分）])1([)(1anxaxn。（10分）《高等代数》试卷（A卷）第6页共4页2.解：对增广矩阵B施行初等行变换，把B变成行阶梯型：132001101121421323211212aaaaaa。（2分）当0322aa时，3a或1a。（4分）当1a时，3)()(BRAR,故方程组有无穷解。（5分）对应的行最简形矩阵为000011103101，对应的齐次线性方程组为133231xxxx，取kx3，则31kx；12kx。（8分）当3a时，)()(BRAR，故方程组无解。（9分）当3a且1a时，方程组有唯一解。（10分）3.在有理数域上分解多项式8465)(234xxxxxf。解：所有可能的根是8421，，，，（2分）081416151)1(234f（4分）28)1(416)1(51)1(234f。（5分）81)1(,81)1(,41)1(,41)1(,21)1(fffff都不是整数。所以可能的根是-2，（7分）08)2(4)2(6)2(5)2()2(234f。（8分）所以多项式的根是1和-2，且-2是重根。（9分）因此)1()2(84653234xxxxxx（10分）《高等代数》试卷（A卷）第7页共4页四、证明题1.证明：如果)())(),((xdxgxf，则存在)()(),(xFxvxu，使得)()()()()(xdxgxvxfxu，（2分）因为)(xf和)(xg不全为零，所以)(xd不为零。（3分）因为)()()(1xfxdxf，)()()(1xgxdxg，可得1)()()()(11xgxvxfxu。（5分）所以1))(),((11xgxf。（6分）反过来，如果1))(),((11xgxf，则存在)()(),(xFxvxu，使得1)()()()(11xgxvxfxu，（8分）因此，)()()()()(xdxgxvxfxu。（9分）又因为)(xd是)(xf和)(xg的因式，所以)(xd是)(xf和)(xg的一个最大公因式。(11分)2.证明：反证法：如果)(xf有整数根，(2分)则)()()(xgxxf，这里)(xg是一个整系数多项式，(4分)则)0()0(gf；)1()1()1(gf。(6分)因为)0(g和)1(g都是整数，(8分)而和1一定有一个是偶数，这与)0(f和)1(f都是奇数产生矛盾。(10分)3．证明：用反证法,如果0D,(2分)则秩1nA，(4分)但A仅有n列，秩nA,(6分)《高等代数》试卷（A卷）第8页共4页从而秩AA秩,这与方程组有解矛盾。(8分)条件不是充分的，例如：线性方程组56223212121xxxxxx。虽然有0511622311，但方程组无解。(10分)