河北省邯郸市重点中学高三数学规范性课时作业(四十九)(教师版)

课时作业(四十九)一、选择题1．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(A)A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝2C．x2＋y2＝1D．x2＋y2＝4解析：AB的中点坐标为：(0,0)，|AB|＝[1－－1]2＋－1－12＝22，∴圆的方程为：x2＋y2＝2.2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为(A)A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1解析：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知0－12＋b－22＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.3．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为(D)A．(－∞，－2)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(2，＋∞)解析：曲线C的方程可以化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a)，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a2.4．动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是(C)A．(x＋3)2＋y2＝4B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1D.x＋322＋y2＝12解析：设中点M(x，y)，则动点A(2x－3,2y)，∵A在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，即(2x－3)2＋4y2＝1，故选C.5．已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是(C)A.95B．1C.45D.135解析：圆心(－1，－1)到点M的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d＝|－3－4－2|5＝95，故点N到点M的距离的最小值为d－1＝45.6．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC、BD，则以点A、B、C、D为顶点的四边形ABCD的面积为(B)A．106B．206C．306D．406解析：将圆的方程化成标准形式得(x－3)2＋(y－4)2＝25，所以圆心为P(3,4)，半径r＝5.而|MP|＝3－32＋4－52＝15，所以点M(3,5)在圆内，故当过点M的弦经过圆心时最长，此时|AC|＝2r＝10，当弦BD与MP垂直时，弦BD的长度最小，此时|BD|＝2r2－|MP|2＝252－12＝46.又因为AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积为S＝12|AC|×|BD|＝12×10×46＝206.二、填空题7．已知圆心在x轴上，半径为2的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是________________．解析：设圆心为(a,0)(a0)，则|a|2＝2，解得a＝－2，故圆O的方程为(x＋2)2＋y2＝2.答案：(x＋2)2＋y2＝28．直线ax＋by＝1过点A(b，a)，则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是________________．解析：直线过点A(b，a)，∴ab＝12，圆面积S＝πr2＝π(a2＋b2)≥2πab＝π.答案：π9．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是______．解析：圆的方程变为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，∴其圆心为(－1,2)，且5－a0，即a5.又圆关于直线y＝2x＋b成轴对称，∴2＝－2＋b，∴b＝4.∴a－b＝a－41.答案：(－∞，1)三、解答题10．已知⊙C与两平行直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，且圆心C在直线x＋y＝0上．(1)求⊙C的方程；(2)斜率为2的直线l与⊙C相交于A，B两点，O为坐标原点且满足OA→⊥OB→，求直线l的方程．解：(1)由题意知⊙C的直径为两平行线x－y＝0及x－y－4＝0之间的距离∴d＝2R＝|0－－4|2＝22，解得R＝2，设圆心C(a，－a)，由圆心C到x－y＝0的距离|2a|2＝R＝2得a＝±1，检验得a＝1.∴⊙C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.(2)由(1)知⊙C过原点，若OA→⊥OB→，则l经过圆心，易得l的方程：2x－y－3＝0.11．在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(－4,0)，B(0，－2)，半径为r的圆M的圆心M在线段AB的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为3r.(1)若r为正常数，求圆M的方程；(2)当r变化时，是否存在定直线l与圆相切？如果存在求出定直线l的方程；如果不存在，请说明理由．解：(1)∵定点A(－4,0)，B(0，－2)，线段AB的垂直平分线方程为y＝2x＋3；∵圆M的圆心M在线段AB的垂直平分线上，且在y轴右侧∴设圆心M为(x0,2x0＋3)∵圆M被y轴截得的弦长为3r，∴圆心到y轴的距离x0满足：x20＋32r2＝r2，即x0＝r2，∴圆心M为r2，r＋3∴圆M的方程为x－12r2＋(y－r－3)2＝r2；(2)圆心M12r，r＋3在直线y＝2x＋3上移动，且半径为r，设直线l：y＝2x＋m与圆M相切，则2·12r－r＋3＋m22＋12＝r，解得m＝3±5r，所以不存在符合题意的定直线．12．如右图所示，圆O1和圆O2的半径长都等于1，|O1O2|＝4.过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PN(M，N为切点)，使得|PM|＝2|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(－2,0)，O2(2,0)．由已知|PM|＝2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2.因为两圆的半径长均为1，所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，化简，得(x－6)2＋y2＝33，所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.[热点预测]13．(1)已知圆C的圆心是抛物线y＝116x2的焦点．直线4x－3y－3＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝8，则圆C的方程为________．(2)(2013·吉林长春三校调研)设圆C：(x－3)2＋(y－5)2＝5，过圆心C作直线l交圆于A、B两点，交y轴于点P，若A恰好为线段BP的中点，则直线l的方程为________．解析：(1)y＝116x2的焦点为(0,4)，∴设圆的方程为x2＋(y－4)2＝r2(r0)所以弦长为|AB|＝2r2－d2＝2r2－|4×0－3×4－3|32＋422＝2r2－|15|52＝8.所以r2＝25，所以圆的方程为x2＋(y－4)2＝25.(2)如图，A为PB的中点，而C为AB的中点，因此，C为PB的四等分点．而C(3,5)，P点的横坐标为0，因此，A、B的横坐标分别为2、4，将A的横坐标代入圆的方程中，可得A(2,3)或A(2,7)，根据直线的两点式得到直线l的方程为2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0.答案：(1)x2＋(y－4)2＝25(2)2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0