河北职业技术师范学院教案编号13

河北科技师范学院教案编号13学年度第学期系（部）数理系教研室数学任课教师课程名称概率统计授课章节：第四章随机变量的数字特征第一节数学期望授课班级授课日期课题数学期望时数2教学目的及要求使学生熟练掌握一维、二维随机变量的数学期望和随机变量函数的数学期望教学重点一维、二维随机变量的数学期望和随机变量函数的数学期望难点随机变量函数的数学期望教法、教具讲授法课堂设计（教学内容、过程、方法、图表等）时间分配（一）回忆加权平均值的概念（二）新课第一节随机变量的数学期望1离散型随机变量的数学期望先看一个例子.某一次数学考试采用5分制计分，抽查部分参加考试者的成绩，得到如下数据：得1分者有1人，得2分者有2人，得3分者有6人，得4分者有8人，得5分者有3人.问被抽查者的平均得分是多少？因为共抽查了2038621n人，所以，被抽查者的平均得分为5.3203584632211(分).如果观察上述被抽查者中任意一人的得分，那末得到一随机变量，记作X，则X的分布列为X12345ip201202206208203从而，这20人的平均得分可表示为.5.32035208420632022201151iiipxX如此计算所得的平均值，叫做加权平均值，其中的201，202，206，208，203分别叫做数1，2，3，4，5的权，这种平均值在概率论中称为数学期望.定义1设离散型随机变量X的概率分布为)1,2,3(,}{kpxXPkk，如果1kkkpx绝对收敛，那么称级数1kkkpx为X的数学期望，记为)(XE，即1)(kkkpxXE，数学期望也简称期望或均值.注：当随机变量X只取有限个值nxxx,,,21时，nkkkpxXE1)(.例1(二项分布)设),(~pnX，求)(XE.解因为X的概率分布为nkqpCkXPn-kkkn，，1,2,,0}{，其中pqp1,10，所以nknknkknkknkknknkknqpknknqpkCqpkCXE011)!()!1(!)(nknknkknnpqpnpqpCnp11111)(.当1n时的二项分布就是0－1分布，所以0－1分布的数学期望是pXE)(.例2(泊松分布)设)0)((~PX，求)(XE.解因为!kekXPk，,1,0k，所以011)!1(!)(kkkkkekekXE)1(kt令0!ttet.此例说明泊松分布中的参数就是随机变量X的数学期望.2连续型随机变量的数学期望定义2设连续型随机变量X的概率密度为)(xp，如果dxxpx)(收敛，那么称dxxxp)(为X的数学期望，记为)(XE，即dxxxpXE)()(.(4.2)3随机变量函数的数学期望设X为一随机变量，下面研究X的函数)(XgY的数学期望.当然，我们可以先由X的分布算出Y的分布，然后按公式来计算)(YE.但实际上可由下面定理直接计算)(YE，而不必求出Y的分布.定理1设),(XgY这里)(Xg是一个连续的实函数.（1）设X是离散型随机变量，其分布律为kkpxXP，,2,1k，若1)(kkkpxg绝对收敛，则1)()]([)(kkkpxgXgEYE.(4.3)（2）设X是连续型随机变量，其密度函数为)(xp.若无穷限非正常积分dxxpxg)()(绝对收敛，则dxxpxgXgEYE)()()]([)(.4二维随机变量),(YX的数学期望以下介绍二维随机变量),(YX的数学期望.定义3如果随机变量YX,的数学期望均存在，那么称)(),(YEXE为二维随机变量),(YX的数学期望.定理2设),(YXfZ是随机变量YX,的连续函数，于是Z也是随机变量.(1)若),(YX为离散型随机变量，则),(),()],([)(ijjijiyxpyxfYXfEZE.(4.5)这里要求(4.5)式右边的级数绝对收敛，其中),(jiyxp为),(YX的概率分布.(2)若),(YX为连续型随机变量，则dxdyyxpyxfYXfEZE),(),()],([)(.(4.6)这里要求(4.6)式右边积分绝对收敛，其中),(yxp为),(YX的概率密度.特别地，当),(YX为离散型随机变量时，有ijjiiiXiiyxpxxpxXE),()()(，jijijjYjjyxpyypyYE),()()(其中)(),(jYiXypxp为边沿概率分布列.当),(YX为连续型随机变量时，有dxdyyxxpdxxxpXEX),()()(，dxdyyxypdyyypYEY),()()(.其中)(),(ypxpYX为边沿概率密度.二数学期望的性质以下，在假设各个随机变量的数学期望存在的情况下，研究数学期望的一些性质.性质1设c为一常数，则ccE)(.性质2设X为一随机变量，c是一个常数，则)()(XcEcXE.性质3设YX,是任意两个随机变量，则)()()(YEXEYXE.特例：设X为一随机变量，cb,是任意常数，则cXbEcbXE)()(.性质4设随机变量YX,相互独立，则)()()(YEXEXYE.例4设,,,2,1,(0,1)~,22221niNXXXXXin且iX相互独立，求)(XE.作业参考文献作业参考文献同上课后小结教研室主任（签字）：