河南省渑池县直中学2015年九年级精英对抗赛数学试卷(含答案)

学校班级姓名考号装订线内不要答题※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※2015年九年级精英对抗赛数学试卷一、选择题(每小题3分，共24分）1．已知一元二次方程2x²+mx－7=0的一个根为x=1,则另一根为（）A.x=1B.x=2C.x=－3.5D.x=－52．下列事件是必然事件的是（）．A．掷两个均匀的骰子,朝上面的点数和不小于2;B．明天一定是晴天C．打开电视机，正在播放体育节目D．抛一枚硬币，正面朝上3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有()A.1个B.2个C.3个D.4个4．已知点A（－3，y1），B（－2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=4x的图象上，则（）A．y1y2y3B．y3y2y1C．y3y1y2D．y2y1y35．若关于X的方程0122xkx有两个实数根,则实数的取值范围是().A.k≥－1且k≠0B.k＜1且k≠0C.k≥－1D.k＞－1且k≠06．已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）ABCD7．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为弧AN的中点，点P是直径MN上一个动点，则PA+PB的最小值为()A.1.5B.2C.2D.38．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（），下列结论：（1）ac＜0；（2）a+b=0；（3）4ac﹣b2=4a；（4）a+b+c＜0；（5）b2﹣4ac＜0.其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（每小题3分，共21分）9．将一个正六边形绕着其中心，至少旋转度后能与原来的图形重合。10.将抛物线y=2x2－3向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线，其表达式为。11．一个不透明的袋子中有2个红球和2个黄球,这些球除颜色外完全相同.从袋子中随机摸两球,摸到两个黄球的概率为12.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,⊙P与x轴交于O,A两点,点A的坐标为(6,0),⊙P的半径为,则点P的坐标为.13．九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意列出方程为14．直径为10cm的⊙O中，弦AB＝5cm，则弦AB所对的圆周角的度数是15．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数221kkyx的图象上。若点A的坐标为（－2，－2），则k的值为三、解答题（共75分）16．（每小题4分，共8分）（1）解方程：2640xx（2）)2()2(32xxx座号．（8分）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－6,0)、B(－2,3)、C(－1,0).(1)请直接写出点B关于坐标原点O对称的点B1的坐标；(2)画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A/B/C/，并求点A旋转到点A/所经过的路线长（结果保留π）；(3)若以A、B、C、D为顶点四边形为平行四边形，请直接写出第四个顶点D的坐标．18．（8分）已知甲同学手中藏有三张分别标有数字12，14，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有数字1，3，2的卡片，卡片外形相同.现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为a，b.（1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果.（2）现制定这样一个游戏规则：若所选出的a，b能使得210axbx有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜.请问这样的游戏规则公平吗？请你用概率知识解释．19．（9分）如图，在等边△ABC中，以BC为直径的⊙O与AB交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）计算CEAE.20．(10分)如图，直线y=x﹣1与反比例函数y=xk的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，已知点A的坐标为（﹣1，m）．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P（n，﹣1）是反比例函数图象上一点，过点P作PE⊥x轴于点E，延长EP交直线AB于点F，求△CEF的面积．学校班级姓名考号装订线内不要答题※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※21．（10分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价应定为多少元．（2）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？22．（10分）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例，请补充完整。原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由。（1）思路梳理∵AB=CD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合。∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线。根据____________，易证△AFG≌________，得EF=BE+DF。（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系____时，仍有EF=BE+DF。（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程。23．（12分）如图，抛物线经过(40)(10)(02)ABC，，，，，三点．（1）、求抛物线对应的二次函数关系式；（2）、在直线AC上方抛物线上有一动点D，求使DCA△面积最大的点D的坐标。（3）、x轴上是否存在P点，使得以A、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．y1B4xAO2C九年级数学试卷答案一、选择题(每小题3分，共24分）1.C2.A3.B4.D5.A6.D7.B8.C二、填空题（每小题3分，共21分）9.6010.y=2(x－1)2－211.6112.(3,2)13.x(x－1)＝207014.30°或150°15.1或－3三、解答题（共75分）16．（每小题4分，共8分）（1）x1=－3+5,x2=－3－5（2）x1=2,x2=317．（8分）解：（1）B1的坐标（2，－3）………………………2分(2)△A’B’C’如图所示，A旋转到点A’所经过的路线长为3π…………………3分（3）D（－7，3）或（3,3）或（－5，－3）…3分18．（8分）解：（1）（a,b）的可能结果有1,21、2,21、3,21、1,41、2,41、3,41、（1，1）、（1，2）及（1，3）,∴(a,b)取值结果共有9种………4分（2）∵Δ=b2－4a与对应（1）中的结果为：－1、2、7、0、3、8、－3、0、5∴P(甲获胜)=P(Δ＞0)=95＞P(乙获胜)＝94………7分∴这样的游戏规则对甲有利，不公平.………4分19．（9分）（1）证明：连接OD，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，又∵OD＝OB，∴△OBD为等边三角形，∴∠BOD＝60°＝∠ACB，∴OD∥AC，又∵DE⊥AC，∴∠ODE＝∠AED＝90°，∴DE为⊙O的切线；………………4分（2）解：连接CD，∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，又∵△ABC为等边三角形，∴AD＝BD＝12AB，在Rt△AED中，∠A＝60°，∴∠ADE＝30°，∴AE＝12AD＝14AC，CE＝AC－AE＝34AC，∴CEAE＝3．………………5分20.(10分)解：（1）将点A的坐标代入，可得：。∴点A的坐标为（－1，－2）。将点A（－1，－2）代入反比例函数，可得：，。∴反比例函数解析式为：………………4分（2）将点P的纵坐标y=－1，代入反比例函数关系式可得：x=－2，∴点P的坐标为（－2，－1）将点F的横坐标x=－2代入直线解析式可得：y=－3，∴点F的坐标为（－2，－3）。∴EF=3，CE=OE＋OC=2＋1=3，∴。………………6分21、（10分）解：（1）设售价为x元，根据题意得﹣10x2+1300x﹣30000=10000解之得：x1=50，x2=80答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润，………………5分（3）根据题意得解之得：44≤x≤46w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250学校班级姓名考号装订线内不要答题※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※∵a=﹣10＜0，对称轴x=65∴当44≤x≤46时，y随x增大而增大．∴当x=46时，W最大值=8640（元）答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．………………5分22、（10分）解：(1)SAS△AFE……………4分(2)∠B+∠D=180°………………2分(3)解：BD2+EC2=DE2.(7分）∵AB=AC，∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合.∵△ABC中，∠BAC=90°.∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,即∠ECG=90°.∴EC2+CG2=EG2.在△AEG与△AED中,∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°－∠EAD=45°=∠EAD,又∵AD=AG，AE=AE，∴△AEG≌△AED.∴DE=EG.又∵CG=BD,∴BD2+EC2=DE2.………………4分23．（12分）解：（1）∵该抛物线过点C（0，－2），∴可设该抛物线的解析式为y=ax²+bx－2．将A（4，0），B（1，0）代入，得，解得，，故该二次函数的解析式为：y=－x²+x－2．………………3分（2）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为－t²+t－2．由题意可求得直线AC的解析式为y=x－2．∴E点的坐标为（t，t－2）．∴DE=－t²+t－2－（t－2）=－t²+2t．∴S△DAC=×（－t²+2t）×4=－t²+4t=－（t－2）²+4．∴当t=2时，△DAC面积最大．∴D（2，1）．………………5分（3）存在这样的点P．P1（－4，0）、P2（4－2，0）、P3（4+2，0）、P4（，0）．………………4分