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泄洪设施修建方案翟飞,范道远,王松泄洪设施修建方案摘要本文根据题目所设置的环境针对泄洪河道,排洪沟的修建方案进行了研究。提出了一些应对洪涝灾害的防汛设施建设方案。并且对泄洪河道网络的建立给出了一个模型,解决了在资金有限情况下的最小成本问题。对于维修人员在村落间的出现概率给出了一个尝试性的解法。给出了一个尝试性的方案。问题一在原有天然河道的基础上为解决防汛问题,需修建排沟解决短期泄洪问题,从长远考虑则应修建泄洪河道。在满足年限内年泄洪量要求的前提下,建立修建费用最小的优化模型。通过建模拟合预测出天然河道年总泄洪量与时间的函数,用0-1规划设定每年修建的排沟,并规定泄洪河道必须连续修建直到投入使用。用lingo解得最少费用为172万元,第一年修建1、3、6、7号排沟,第二年修建5号排沟,第三年修建2号排沟,且第一、二年均投入60万元,第二年投入52万元。问题二需要将各村水流引入地势最低的村落,考虑整个区域时,只需考虑村落流出与流入的水量之差等于该村产生的最大流量,建立求最小费用的优化模型。根据地势高低,可得出可能的渠道修建矩阵。用lingo9.0编程求解得到最小费用为609.6916万元,泄洪干道网络图及各村之间的流量见图2.1。问题三建立了经典的马氏链预测模型,利用问题二的泄洪河道修建线路,得出概率转移矩阵,用lingo9.0求解虽然能得到确切留宿概率,因此,判定留宿概率分布稳定。考虑到以上设计方案可能导致下游村落泄洪压力过大,增加损失,问题四考虑到该乡的特殊地理位置,可修建蓄水池来减小现有天然河道的泄洪压力并能起到防洪、供水、灌溉的作用;有数据可知,天然河道有着很大的泄洪潜力如果能够及时的对修缮进行修缮,可以显著地减少泄洪工程的花费,所以基于以上两点,建立了修建蓄水池并修缮天然河道的线性规划模型。该模型的目标函数y包括修建蓄水池的费用nnm1和修缮天然河道的费用a,找出nnm1,a的最小值,此时目标函数y取最小值,则此时的方案是最优的,也是最合理的。关键字:0-1规划优化模型马氏链预测模型蓄水池一、问题重述在进行泄洪防汛时,除了可以依靠天然河道外,从两方面考虑,还可以通过开挖排洪沟满足近两三年的短期防汛需要;从长远利益考虑,可以通过修建新泄洪河道的办法把洪水引出到主干河流。2010年入夏以来,由于史无前例的连日大雨侵袭,加上某乡天然河流泄洪不畅,造成大面积水灾,不仅夏粮颗粒无收,而且严重危害到当地群众的生命财产安全。为此,乡政府打算立即着手解决防汛水利设施建设问题。经测算,修建新泄洪河道的费用为LQp**66.051.0(万元),其中Q表示泄洪河道的可泄洪量(万立方米/小时),L表示泄洪河道的长度(公里)。在资金、人力和物力各种因素的限制情况下,人们常常想以最小的代价解决防汛、泄洪问题。请你们通过数学建模方法,解决以下问题:问题一:该乡原有四条天然河道,但泄洪能力逐年减弱,并提供从2001到2009各年数据。水利专家经过勘察,在该村区域内规划了8条可供开挖排洪沟的路线。由于它们的地质构造、长度不同,因而开挖的费用和预计的可泄洪量也不同。而且预计每条排洪沟的可泄洪量还会以平均每年10%左右的速率减少。同时开始修建一段20公里长的新泄洪河道。修建工程从开工到完成需要三年时间,且每年投资修建的费用为万元的整数倍。要求完成之后,通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时的泄洪能力。乡政府从2010年开始,连续三年,每年最多可提供60万元用于该村开挖排洪沟和修建新泄洪河道,为了保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少达到可泄洪量150、160、170、180、190万立方米/小时的泄洪能力,请作出一个从2010年起三年的开挖排洪沟和修建新泄洪河道计划,以使整个方案的总开支尽量节省。问题2:该乡共有10个村,海拔高度总体上呈自西向东逐渐降低的态势。乡政府打算拟定一个修建在各村之间互通的新泄洪河道网络计划,将洪水先通过新泄洪河道引入村⑧后,再经村⑧引出到主干河流。要求完成之后,每个村通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时的泄洪能力。提供村落分布图与各村之间修建泄洪干道的距离。要求从村A→村B的新泄洪河道,一般要求能够承载村A及上游新泄洪河道的泄洪量,请为该乡提供一个各村之间修建新泄洪河道网络的合理方案,使得总费用尽量节省。问题3:新泄洪河道网络铺设完成后,打算安排一位维护人员,每天可以从一个村到与之直接有新泄洪河道连接的相邻村进行设施维护工作,并在到达的村留宿,次日再随机地选择一个与该村直接有新泄洪河道连接的相邻村进行维护工作。试分析长此以往,他在各村留宿的概率分布是否稳定?问题4:是否能够为该乡提出一个更加合理的解决泄洪的办法?二、问题分析问题一:由于该村本来就拥有四条天然河道,在洪水发生期间能够承担一定的泄洪量,并且泄洪量随着时间的增长逐渐减少。通过处理题目所给数据首先建立关于天然河道总泄洪量与时间的模型,对所给数据进行拟合,使用excel算出结果。从而预测2010-2014年通过天然河道的泄洪量。因为每条排沟最多修建一次,投入使用后不再修理,每年泄洪量以10%减少。而新泄洪干道一开始修建即不再停工直到投入使用。其总费用也是一定的,我们需要规划每年排水沟和新泄洪干道资金的分配。根据题目所给的约束条件,列出每年投入资金与修建项目之间的关系,建立使总费用最少的优化模型。问题二:假设洪水只能从地势高的地方流到地势低或地势相等的地方,可采集得到新建泄洪干道可能的修建路径矩阵,由各村之间可修建泄洪干道距离决定。基于从某村流出的水流量与流入该村的水流量之差不大于该村的最大泄洪量,即可确定目标函数求解。使用lingo9.0编程即可求得结果。问题三:根据第二问,及题意,由于维护人员向除自己所在的村庄概率是相同的。我们建立马氏链模型,并且可判定该链为正则链,根据泄洪干道网络分布图,可以得到维护人员留宿转移矩阵。存在唯一的极限状态概率,问题四:由该乡的地理位置可知,该乡人口相对较少。可以提出每户修建蓄水池,一则修建蓄水池的费用相对于修水库,水坝的费用低且工程期短,二则可减小现有天然河道的泄洪压力,三则可解决水灾、旱灾等问题,能起到防洪、供水、灌溉的作用,由于天然河流的泄洪能力在以平均每年10%左右的速率减少,仅仅修建蓄水池是不行的,从四条天然河流在2002年的总泄洪量达到31.3+15.9+25.8+46.2=119.2万立方米/小时可看出,天然河道有着很大的泄洪潜力,所以提出修建蓄水池和天然河道的方案。三、模型假设1、假设每年计划修建的排沟能在需要使用之前修好并可以投入使用;2、只要拨给资金新泄洪河道即开始修建,并且连续修建直到投入使用,中间不间断年份;3、新泄洪河道在投入使用的两年内泄洪量不变;4、假设天然河道及所修好的排沟不需投入修理费用;5、修建的蓄水池短期内蓄水能力不变;6、该乡的人口总户数相对稳定;5、假设维护人员到从A村到有泄洪干道连通的村留宿概率相等;7、假设该地无大型需水工厂,当地水资源仅用于生活用水即农业生产;四、符号说明jm:是第j条排洪沟的造价ijZ:0-1变量,表示第j年是否修建i排沟;jw:是第j条排洪沟的建成当年的排洪量iR:是第i年的四条河流的泄洪量B:为0-1规划矩阵ijL:表示村落间的距离矩阵Q:为泄洪河道的泄洪量An:为维修人员的所在村庄的状态aij:今天在状态i,第二天转至状态j的概率五、模型建立及求解问题一:整个开挖排洪沟和修建新泄洪河道计划应包括五个环节:1、拟合出四条天然河道的泄洪量与时间的关系式;2、根据拟合的关系式,预测未来五年四条天然河道的泄洪量;3、确定开挖排洪沟的费用和预计的可泄洪量以及要达到的泄洪要求;4、建立线性规划的数学模型,进行求解;5、检验第四、第五年是否满足泄洪要求。1、由表1所给的数据对每条河道进行拟合,得到各条河道泄洪量随时间变化的关系式,然后对各河道未来五年的泄洪量进行预测。当天然河道的泄洪量很低时,认为其泄洪量为零。(1)1号天然河道泄洪量随时间的变化近似为直线关系,所以使用MATLAB对天然河道1号进行拟合,得到:Y=-1.2017x+2436.8所得的拟合图为:使用MATLAB对其未来五年该天然河道的泄洪量进行预测得到:Y=21.38320.181318.97917.77816.5762(2)2号天然河道泄洪量随时间的变化近似为直线关系,所以使用MATLAB对天然河道2号进行拟合,得到:Y=-0.031061x^3+187.16x^2-375920x+251690000所得到的拟合图为使用MATLAB对其未来五年该天然河道的泄洪量进行预测得到:Y=0.91310000(3)3号天然河道泄洪量随时间的变化近似为直线关系,所以使用MATLAB对天然河道3号进行拟合,得到:Y=-2.085x+4200所得到的拟合图为使用MATLAB对其未来五年该天然河道的泄洪量进行预测得到:Y=9.157.0654.982.8950.81(4)4号天然河道泄洪量随时间的变化近似为直线关系,所以使用MATLAB对天然河道4号进行拟合,得到:0095.739078.195333.21136.023xxxy所得的拟合图为:使用MATLAB对其未来五年该天然河道的泄洪量进行预测得到:y=13.66159.35142.6103-7.2434-20.8913(5)将以上数据进行整理归纳出入下的表年份编号201020112012201320141号21.38320.181318.979617.77816.57622号0.913100003号9.157.0654.982.8950.814号13.66159.35142.610300未来五年4条天然河道泄洪总泄洪量表年份总泄洪量20102011201220132014iR(万立方米/小时)45.107636.597726.569920.67317.3862线型规划模型的建立与求解通过题意我们知道在前三年中泄洪河道还在修建过程中,所以其对村子的泄洪量没有任何影响。在前三年中泄洪量由两部分组成,一部分是四条河,另一部分是排洪沟。由于修泄洪河道的钱是一定的,只是钱在这三年中的分配受到题目的限制,并且对村子的泄洪量没有任何影响。所以我们先不考虑谢洪河道,问题变成求排洪沟的最小花费问题。使用0-1规划,确定每年修建的排沟。设jz为0-1变量,j为第j条排洪沟。jm是第j条排洪沟的造价。jw是第j条排洪沟的建成当年的排洪量。iR是第i年的四条河流的泄洪量。由此可以建立线型规划模型。1、建立第一年的线型规划模型Min81)*(jjjmz泄洪约束:150)*(181Rwzjjj资金约束:60)*(81jjjmz第一年线性规划模型的求解代入数据,使用lingo9.0(见附录1)求解得:17631zzzz,即在第一年只需修建第1号、3号、6号、7号排水沟。花费20万元。2、建立第二年的线型规划模型Min81)*(jjjmz泄洪约束:160)*(281Rwzjjj资金约束:60)*(81jjjmz07631zzzz第二年线性规划模型的求解代入数据,使用lingo9.0(见附录2)求解得:15z,即即在第二年只需修建第5号排水沟。花费6万元。3、建立第三年的线型规划模型Min81)*(jjjmz泄洪约束:160)*(281Rwzjjj资金约束:60)*(81jjjmz057631zzzzz第三年线性规划模型的求解代入数据,使用lingo9.0(见附录3)求解得:12z,即即在第三年只需修建第2号排水沟。花费7万元。4、前三年,每年花在排水沟的已经确定。下面确定泄洪河道的在这三年中的花费。设ip是第i年的泄洪河道的花费。lL为第i年的公里数。有如下限制条件:Min321ppp401p,542p,533p20321LLLiiLp*100*66.051.0代入数据,使用lingo9.0(见附录4)求解得:6.398590L7.813
本文标题:泄洪设施修建方案
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