泛函试题(答A1)

西南工学院研究生试题答案(A卷)99-2000学年第一学期考试课程应用泛函分析考试时间专业班级考试成绩一、简要叙述下列概念（30分）:1.度量空间:定义1.1.1.,P1.2.拓扑空间:定义1.2.1,P7.3.开集:假设XG,如果G中的每一个点都是G的内点,则集合G是度量空间X的一个开集.4.稠密、可分:设X是度量空间,XAXM,.如果MA,就称A在集合M中稠密.如果A还是有限集或可数集,使MA,就称M是可分的.5.自列紧集:设X是度量空间,XM.如果M的任一无穷点列均有收敛自列,而且还收敛于M中的点,那么,称M是自列紧集.6.紧集:设X是度量空间,XM.如果M的每一个开覆盖},{G中都存在有限子覆盖,即}{}{GGk,使MGnkk1,那么,称M是X中的紧集.7.赋范线性空间:定义2.2.1,P35.8.线性泛函的范数:定义2.5.2,P58.9.集合M的网:设X是度量空间,XAXM,,0,如果A中一切点的-邻域能够覆盖M,即MxBAx),(.那末,称集合A是集合M的一个-网.二、证明如下命题（50）:1.设},{dX是度量空间,}{nx是X中的收敛点列,则}{nx的极限是唯一的.证明.若xxn,yxn.则有)(,0),(),(),(nyxdxxdyxdnn从而0),(yxd,即有yx.2.压缩映象原理:设X=},{dX是一个非空的完备的度量空间,存在正数1使得映象XXT:满足Xyxyxdyxd,),,(),(则映象T在X中存在唯一的不动点.证明.任取Xx0.令1nnTxx,,...2,1n于是有),,(...),(),(),(10111xxdxxdTxTxdxxdnnnnnnn从而),(1),(),(101xxdxxdxxdnpnnkkkpnn.Npn,.注意到10,故0,当n充分大时,),(pnnxxd.故}{nx是基本列.由于X是完备的,从而有Xx*,使*xxn.nxxdxxdxTxdTxTxdxTxdnnnn,0*),()*,(*),()*,(*)*,(1因此,**xTx,即*x是T的不动点.如果T还有不动点Xx^,则有)^*,()^*,()^*,(xxdTxTxdxxd,由于10,因此只能有0)^*,(xxd,即有^*xx.3.设X是内积空间,M是X的完备的线性子空间，又设}{e是完备的标准直交集,则对任意的Xx,x在M上的投影为iieexx),(0这里,},0),({exei.证明.}{ikee,有0),(),(),)(,(),(),)(,(),(),(),(),(100kkkkkkkiikkkkexexeeexexeeexexexexexxi所以,}{0iexx.}{\}{ieee,有,0),(ex故0),)(,(0),(),(),(100ieeexexexexxii这样一来,}{0exx.由于}{e是X完备的标准直交集,则Mz,有eezz),(于是,,0),(0zxx既Mxx0,所以,eexeexxiii),(),(10是x在M上的投影.#4.(Hahn-Banach定理)设X是赋范线性空间.M是X的线性子空间,f是M上的有界线性泛函.那末,存在X上的有界线性泛函)(xF,使得(1),),()(MxxfxF（2）MXfF证明.令xfxpM)(,Xx.显然,)(xp是X上的半范数,并且)()(xpxf,Mx.由定理4.1.2,存在线性泛函)(xF,使得,),()(MxxfxF)()(xpxf=xfM,Xx.故MXfF.另一方面,MMxxMxxXxxXfxxfxxFxxFF)(sup)(sup)(sup,0,0,0故MXfF.#三、应用题（20）：设有1n个变量：.,...,,1nxxy其中关系),...,(1nxxfy不知道，问当),...,2,1(nii如何选取时，y有最佳逼近niiix1.解.如果进行了m次观察,取mRX,将),...,()()1(myyy,),...,()()1(miixxx,ni,...,1,均看成mRX中的向量.令},...,{1nxxspanM.设Mx是y在M上的投影,那末,niiixx1,使得