流场有序结构分析解的探讨

北京大学政学者论文集（2002年）流场有序结构分析解的探讨141流场有序结构分析解的探讨OntheExactSolutionsoftheOrderedStructuresinFlowField力学与工程科学系99级邓新华摘要流体力学的基本控制方程是Navier-Stokes方程，作为一个非线性的偏微分方程组，它不存在通解；定常情况下，已经找到的分析解大致有平行流、广义Beltrami流、相似性解三类。从Helmholtz方程新的特解，我们进一步讨论了Bénard对流和三维Beltrami流动。此外，结合工作中的应用，介绍了科技和工程界上四个著名的数学软件MatLab、Mathematica、Maple和MathCAD。AbstractThefundamentalgoverningequationsforfluidmechanicsaretheNavier-StokesEquations.Asanonlinearsetofpartialdifferentialequations,ithasnogeneralsolutions,yetonlyasmallnumberofexactsolutionshavebeenfound.Inthispaper,basedonthespecialsolutionofHelmholtzEquationwehavefound,newsolutionsfortheBénardconvectionandthe3DBeltramiFlowswillbediscussed.Alsowewillintroducefourofthemostnotablemathematicalsoftwares,whichareMatLab,Mathematica,MapleandMathCAD.一、引言在过去的几个世纪里，流体力学家在众多实际问题中找到了分析解[1－3]，但是，这些解具有很强的局限性，往往对模型做了多种假设，只适合特定的问题；而且有些还存在奇异性，如个别点不单值或者无界，不严格满足边界条件。尽管如此，分析解还是有着举足轻重的地位。它们描述了自然界基本的流体动力学现象，有些还与实验现象惊人的吻合，为实际工程应用、气象等提供了很好的近似；其次，对精确解，我们可以研究其稳定性、叠加的可行性等，深入讨论流动的本北京大学政学者论文集（2002年）流场有序结构分析解的探讨142质；而且，随着计算机广泛应用于流体计算，这些简单的解可以用来检验计算方法的合理性和精确性。二、Bénard对流的奇异解对流现象和海洋、大气、星球内部的动力学，以及许多工业生产密切相关。在空间中，当流体层的温度梯度大到某一程度时，将出现热传导状态到以热对流为主的状态的转变；通常，对流现象中因非线性的因素自发形成特殊的空间结构，称之为斑图（pattern）。Bénard对流是非线性科学中一个典型的自组织现象，可以说是目前研究最充分的一类斑图结构；本世纪初，瑞利提出了线性稳定性理论[5]，指导了近百年来Bénard对流涡胞的分析和模拟。由线性稳定方程330PrPriiiiiiuxupRutxut（1）通过假定扰动的形式，可以分离变量，其中水平方向),(yxf集中体现了涡胞的性质。而且),(yxf满足如下简单的方程：0)(22222ffyx（2）目前典型的涡胞解有[6]：①直涡卷（Rolls）：(,)cosfxyx；（3）②矩形涡胞（RectangularCells）：2221212(,)coscos,fxyxy；（4）③六角形涡胞（HexagonalCells）：22(,)cos[(3)]cos[(3)]cosfrxyxyy（5）等。我们找到了方程（2）在极坐标下的解)2/(2/1)(),(rierrf（6）取实部有)2/cos()(),(2/1rrrfR（7）北京大学政学者论文集（2002年）流场有序结构分析解的探讨143由0),(rfR，给出一条从坐标原点出发的螺旋线02/r，即速度垂直分量为零的涡核的位置，函数),(rfR的图象给出螺旋波的雏形，根据稳定性理论，我们导出了速度场：两股流体分别旋入和旋出中心；此外，原点是函数),(rfR的唯一奇点，而在实验中螺旋涡胞的中心也是流场中的唯一奇点。因此我们曾经猜测，解（7）将对应于Bénard对流的螺旋涡胞。进一步的工作表明，我们的这种猜测是可以被否定的。首先，我们可以验证方程（2）具有形式)(2/)(),(lrminerrf（l、m、n为常数）的解是唯一的，且该唯一解（6）作为复变函数并不解析。其次，注意到，式（7）中函数),(rfR的余弦项中对应的系数是1/2，即),(rfR是关于以4π为周期的函数——在x、y平面上的任意一点，将对应着两个具有相反符号的函数值；而且，任取一单值分支都将存在一个间断面。回到流动现象，这将意味着在流场中总存在一个间断面，在这个间断面的两边，流场具有完全相反的性质；或者流体的微团总处于两个不同的状态。无论怎样，都将与流动的基本现象和连续性假设相背离。因此，我们最终认为仅仅依靠我们所得到的解（7），还不足以给出相应于螺旋涡胞的有物理意义的解。我们认为，为简化问题，我们考虑的是不可压流体的定常流动；沿袭前人处理多边形涡胞的方法，我们忽略了竖直方向上的涡量，即03等。而实验结果表明，螺旋涡胞呈现出多臂、旋转、游走的性质。理论上螺旋涡胞实验照片函数f单值分支北京大学政学者论文集（2002年）流场有序结构分析解的探讨144的这些近似，也可能是导致解),(rfR上述奇异性的原因，我们正在考虑模态方程中高阶非线性项的可能性。三、Beltrami流的探讨Beltrami流动是一类特殊的定常理想不可压流动，在流场中流体的涡矢量和速度矢量方向平行；由于这一特性，使得Beltrami流动的研究对混沌和湍流理论、等离子物理等具有很深远的借鉴意义。如式（11）是球形涡流的解，对高阶球涡以及球涡的计算表明，流动中将出现混沌运动轨道，因此就把流体力学的涡旋运动和保守系统的混沌理论联系起来。用v表示涡量，则所谓的Beltrami满足0v（8）即三维流场中的涡矢量与速度矢量方向相同。可以证明[4]Beltrami流动的充分必要条件是满足aav（9）其中矢量a满足Helmholtz方程0aa（10）根据近年来许多理论研究结果，可以将Beltrami流动分为螺旋片流、柱形螺旋流、柱形涡流、球形涡流(11)、长椭球形涡流等[4]。)(cos)()1(12/12/3nnnrPrJrnnAv)(cos]/)()([12/12/12/1nnnnPrrnJrJrAv)(cos)(12/12/1nnbPrJrAv(11)这里，我们将（7）式推到三维，即寻找满足Helmholtz方程0)(22222222ffffzyx（12）类似形式的解，得到2222121*)],2/(exp[1),,(zrirzrf（13）或者]2,0[)],2/sincos(exp[1),,(*constzrirzrf（14）选取特殊矢量a为[0，0，)2sincoscos(1zrr]，然后计算Beltrami流场的速度分布：)]cossin2cos(2sin)cossin2sin()1[(cos212/3zrrzrrvr北京大学政学者论文集（2002年）流场有序结构分析解的探讨145)]cossin2cos(sin2)cossin2cos()cos1[(212/3zrrzrrv)]cossin2cos(sin122/1zrrvz(15)因为的系数是21，这个解具有与（7）相同的双值性，因而也是奇异的。事实上，令0，式（14）即为式（7），不在与z坐标相关。而且，由于β是常数，变量r的系数cos影响的只是径向的特征尺度；而变量z只出现在余弦函数内，故不同z坐标的平行截面上速度分布具有相同的结构，只是彼此间相差一个相位。四、若干数学软件的应用比较目前,在科技和工程界上著名的数学软件主要有:MatLab、Mathematica、Maple和MathCAD，它们各自针对的不同目标，有不同的特色。在学习和研究工作中，我接触比较多的是前三者。1.MatLab——TheLanguageofTechnicalComputingMatLabV是我最先学习的计算软件，目前最新版本是MatLab6.5。MatLab原是MatrixLaboratory在70年代用来提供Linpack和Eispack软件包的接口程序，采用C语言编写。从80年代出现3.0的DOS版本，逐渐成为科技计算、视图交互系统和程序语言。MatLab可以运行于多个操作平台上，如Windows9X/NT、OS/2、Macintosh、Unix、Linux等。MatLab程序主要由主程序和各种工具包组成，其中主程序包含数百个内部核心函数，工具包则包括复杂系统仿真、信号处理工具包、神经网络工具包、图像处理工具包、统计工具包等。MatLab是数值计算的先锋，它以矩阵作为基本数据单位，在应用线性代数、数理统计、自动控制、数字信号处理、动态系统仿真方面已经成为首选工具，同时也是科研工作人员和大学生、研究生进行科学研究的得力工具。MatLab的功能非常强大，可编程，支持C、Fortran等程序语言，附带Editor编辑器、图片处理等应用程序，和数百兆的帮助说明文档，使用相当方便。但是占据的系统资源也相当惊人；因此，我主要用它来完成后期计算、以及数据、图形的进一步处理。2.Mathematica——ThewaytheworldcalculatesMathematica是由美国物理学家StephenWolfram领导的WolframResearch开发的数学系统软件。它拥有强大的数值计算和符号计算能力，目前最新版本是Mathematica4.2。Mathematica的基本系统主要是用C语言开发的，因而可以比较容易地移植到各种平台上，如MacOS、Linux等，Mathematica是一个交互式的计算系统，所接受的命令被称作表达式，系统在接受了一个表达式之后就对它进行处理，然后再把计算结果返回。Mathematica对于输入形式有非常严格的规定，虽然给使用者造成一些不便，一点微妙的输入差别就会出现完全出乎用意的结果，但这恰恰是其魅力所在，Mathematica的输入与输出格式也更让我们习惯。北京大学政学者论文集（2002年）流场有序结构分析解的探讨146鉴于Mathematica强大的符号运算能力，我主要用它来验证我的公式推导和做一些尝试性的推测，同时配合MatLab的数值计算功能。在实际工作中，我发现Mathematica的计算结果与计算机的性能有很大关系，不仅体现在速度方面；某些运算繁琐的题，在低档机上是得不到结果的；此外，它往往不能简化为我们所希望的表达式，因此，经常需要观察比较甚至更改计算结果的形式。3.Maple——AcomprehensivecomputersystemforadvancedmathematicsMaple是由Waterloo大学开发的数学系统软件，目前最新版本为8.0，它不但具有精确的数值处理功能，而且具有很好的符号计算功能，是MatLab和Mathematica的很好的折中选择，包括代数、分析、离散数学、图形处理、数值计算等领域的工具包；Maple提供了三千多种嵌入函数，支持丰富的运算符号，提供快速的编程处理环境，使用非常方便。所以，我主要利用Maple来迅速完成一些简单的任务，尤其是在学习、作业的过程中。4.MathCAD——Abroa