柯西不等式在高考自选模块中的应用分析

柯西不等式在高考自选模块中的应用分析摘要：柯西不等式是高中数学新课程标准下的新增内容，随着课改的不断深入，柯西不等式已经成为我们分析和解决问题的不可缺少的工具。2009年是课改实施后的第一次高考自选模块考试，难度适中，符合高中数学教学的实际，有利于培养学生的创新能力和探究能力，为高校选拔人才提供更多保障。关键词：高中数学柯西不等式简单不等式最大(小)值应用柯西不等式在高中数学中的主要应用体现在证明恒等式、解无理方程(或方程组)、证明不等式、证明条件不等式、求函数极值、解三角问题等方面，而高考中对此块内容的要求仅限于能利用三维的柯西不等式证明一些简单的不等式，解决最大(小)值问题，预计2010年高考也是如此。本文通过对去年高考自选模块试卷数学部分的分析和研究，总结出了利用柯西不等式解题的基本技巧：利用柯西不等式证明不等式和求最值是新课标下高考中出现的一个基本题型，这种题目能充分考查一个学生分析问题和解决问题的能力，越来越受到高考出题人的喜欢，在全国的数学联赛和以往的高考题中也有当应用。鉴于其新增性和必考性，本文给出了几种典型解题技巧，并对其可能出现的复杂变化做了预测和证明。一、三维的柯西不等式及其变式1.1三维的柯西不等式形式设)3,2,1(,ibaii为任意实数，则313123122)()(iiiiiiibaba，当且仅当bi=ai(1i3)时取等号1.2三维柯西不等式的两种变式变式1：设)3,2,1(,ibaii为任意实数，则31312312)(iiiiiiibaba，当且仅当bi=ai(1i3)时取等号变式2设)3,2,1(,ibaii为任意实数，则3123131)(iiiiiiiibaaba，当且仅当b1=b2=b3时取等号二、三维的柯西不等式的应用纵观去年浙江省高考自选模块数学部分试题和今年省内各市的模拟试题，这个知识点的考查主要体现在证明简单不等式和求最值问题两方面。这个题目难度适中，主要目的是考查学生是否掌握柯西不等式的形式及其变形，熟悉变形的基本技巧即可熟练解题。技巧一：直接嵌入因式柯西不等式中有三个因式312iia，312iib，31iiiba而一般题目中只有一个或两个因式，为了运用柯西不等式证明不等式或求最值，需要设法嵌入一个、两个甚至三个因式（嵌入的因式之和往往是定值），这也是利用柯西不等式的技巧之一。例题1(2009年浙江省高考自选模块数学试题)已知实数zyx,,满足,12zyx设.2222zyxt(1)求t的最小值；(2)当21t时，求z的取值范围解：观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式的积，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，解题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。而此题中若直接套用公式，关键就是搞清楚不等式左边另一常数因式中各项。(1)由柯西不等式得12])2(11)[2(2222222zyxzyx所以41t，当且仅当,22zyx即41zyx时取得等号，因此t的最小值为.41(2)由题意得：,221,21222zyxzyx因为,1122222yxyx所以.214122zz解得：210z例题2(2010年浙江省第二次五校联考)已知,,abcR，1abc。ks5u(1)求222149abc的最小值；(2)求证：111332abbcca解：(1)很明显，此题需要设法嵌入两个因式，对两个因式的合理嵌入式解此题的关键所在。因为,,abcR，1abc，所以22221111114912344923abcabc，得22214414949abc。当且仅当149abc，即23187,,494949abc时，222149abc有最小值14449。(2)有些不等式证明的解决往往需要反复利用柯西不等式才能达到目的。因为2222111abcabc，ks5u所以3abc，当且仅当1abc取等号。又1119abbccaabbcca，于是11193322abbccaabc。注意：在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误。又如例题6充分展现等号成立的条件判定的重要性技巧二：巧变形巧应用有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，认清其内在的结构特征，就可以达到利用柯西不等式解题的目的。例题3(2010年杭二中高三年级第三次月考)已知正数,,abc满足：1cabcab，求abcbaccab的最大值．解：初看跟柯西不等式毫无关联，没法直接得到思路。抓住acbcab,,这三个因式中的关键项找准方向即得思路。abcbaccababacbcabcacb2()()()1abacbcabcacbabbccaacabbc1abcbaccab当且仅当33cba时取得最大值1例题4(浙江省镇海中学高考模拟试题)已知,,xyz是正数，且121,xy求22122xxyy的最小值；解：解题关键是在因式中构造yx2,1这两项构造222222421112()()122121414yyxxxxyyxyxy222221112(1)(4)()()61214yxxyxy2211121(14),661214yxxyxy当且仅当2121411214yxyxxy时，即211214yxxy，即2xy时，取等号。121xy又，2251215,,226xyxxyy所以当时达到最小值.技巧三：利用变式解题如果直接利用柯西不等式难以解决，有时通过柯西不等式两种变式的合理应用，能在一定程度上使问题得到有效解决。例题5(金华十校2009年高考模拟考试)若Rcba,,，求证：1222bacacbcba证明：(变式2的应用)22223332222222222223abcabbcacbccaababcabcbcacabbccaababcabcabbcacabbcac1222abcbccaab(当且仅当abc时等号成立)例题6(2010年宁波市高三模拟测试卷)已知,,abc为正实数，且3abc．证明：2222()()()4()3acbacbacabc，并求等号成立时,,abc的值．证明：(变式2的应用)建立不等式两边联系：想到cacbba)()(等量关系，找到突破口。2222()()()(||||||)acbacbacbacbabcabc22(||||)4()3acbacbacabc当且仅当||||||acabbcabc且()()0bacb时，取到等号.acabbcabc或caabbcabc若acabbckabc，即(1),(1),(1)ckaakbbkc，∴3(1)()(1)(1)(3)(1)abckbckakaka23kak，∴0k或32a．当0k时，1abc；当32a时，512k，从而3353935,,24444abc．若caabbctabc，则(1),(1),(1)ctaatbbtc3(1)ctc,30,(1)1,0ctt，1abc．K*s*5*u∴当3353935,,24444abc或1abc时取到等号．（指出1abc时得2分，指出3353935,,24444abc时得3分．）技巧四：综合应用例题7(浙江省镇海中学高考模拟试题)若0,,1,xyz且1xyyzzx，求证：3232323yzxxyz。证明：解题关键是先变形后应用变式1222223232323232323yzxyzxxyzyxyzyzxzxxyzxyz222222233xyzxyzxyyzzxxyyzzx所以33xyz，令233txyz，则232131233323344232323tyzxtttxyz例题8(2010年金华十校高考模拟考试)设正数x，y，z满足1543zyx求xzzyyx111值．解：关键是先应用换元法构造柯西不等式因式，再用不等式解题。设,,,xyayzbzxc,,,2223451,321.acbabcbcaxyzxyaaba则代入得所以，由柯西不等式，得2111111()(32)(132)abcxyyzzxabc，当且仅当cba23时“=”成立。所以2111(123).xyyzzx的最小值为三、柯西不等式在竞赛题中的应用例题9(1989年全国数学冬令营试题)设nxxx,,,21都是正数，,2n且,11niix求证：.1111nxxxniiniii证明：令),,2,1(1nixyii由柯西不等式，得,)(121nxnxniinii即.1nxnii同理，得),1()1()(1121nnxnynyniiniinii即.)1(1nnynii又由柯西不等式，得2241411)1(1nyyyyiniiniinii故,)1(112121nnnynyniinii从而.11)1(111111111nxnnnnnnnyyyyxxniiniiniiniiiniii四、柯西不等式在高考其他题型中渗透例题10(2008年陕西高考理科数学压轴题)已知数列na的首项135a，13,1,2,.21nnnaana(1)求na的通项公式；(2)证明：对任意的21120,,1,2,;131nnxaxnxx(3)证明：212.1nnaaan证明：第一小题中可解得332nnna，则第三小题中看穿题目的本质属性，通过变形直接利用柯西不等式求证不难。22333323232nnn3211321132112nnnn3232323213213211112222=131122nnnnn五、展望2010年柯西不等式在高考中的命题趋势今年是高考实施新课标后的第二年，彼人之见，继续贯彻“三求”原则：求“稳”、求“变”、求“新”。“稳”体现在重点不变，思想不变，导向不变，特色不变，即主要考查三维的柯西不等式在证明简单不等式及求最值两方面的应用；“变”体现在知识载体的适度迁移，解题能力要求的恰当提升，即主要考查柯西不等式的变形、变式及综合应用；“新”体现在题目呈现的设计新颖，充分彰显数学智慧，展现试卷亮点，实现能力立意。在柯西不等式的应用过程中，首先要加强对柯西不等式知识的理解，重视数学思想方法的领会，其次要掌握基本的变形变式的灵活运用，题无定型，但思想不变，要学会灵活处理