标尺刻度的设计

1标尺刻度的设计13.1实验目的本实验涉及微积分和线性代数的若干基本知识。通过实验复习函数的反函数、定积分的应用和计算、解微分方程和解代数方程组等内容；并且介绍了连续型数学问题近似化处理的若干基本技巧，例如插值法、二分法和两点边值问题的差分法等。13.2实际问题在石油的生产地和加工厂，为了储存原油，经常使用大量的储油罐。油罐的外形为一个圆柱体和两个圆锥体的组合，上端有一注油孔（见图13.1）。2由于经常注油和取油，有时很难知道油罐中剩油的数量。这给现有储油量的统计带来很大的麻烦。显然，将剩油取出计量是不现实的。因此，希望能设计一个精细的标尺：工人只需将该尺垂直插入使尺端至油罐的最底部，就可以根据标尺上的油痕位置的刻度获知剩油量的多少。这是一个来自油田的问题。313.3数学模型设圆柱的底面半径为R，长度为L；而圆锥的底面半径也是R，高为A。若标尺被油浸湿位置的高度为H，而此时罐内的油量为V。那么我们的问题归结为求出函数max(),0(13.1)HHVVV22max213.23VRLRA其中（）换言之，要求油量函数(),0213.3VVHHR（）的反函数。4由于对称性，我们只要研究RH0的情形就行了。13.4问题的解法Ⅰ．求油量函数的解析方法RHHVHVHVbc0,)(2)()(记其中)(HVc和)(HVb分别为相应圆柱和圆锥（一侧部分）中的储油量。先求)(HVc。5设圆柱体截面中储油部分对应的弓形区域面积为S(H)，弓形对应的圆心角的一半为那么易得sin)()(2HRRRHS利用三角函数表达式，就有222()arccos111113.5HHHSHRRRRR（）6222()arccos111113.5HHHSHRRRRR（）221111arccosRHRHRHLRLSVc13.6（）7再求)(HVb设与圆锥体底面平行且距底面x处的截面上表示储油部分的弓形区域面积为Q，那么和前面S不同的是：Q不仅与H有关，而且与x有关。设该弓形的半径为r高为h，由几何关系（见图13.3）不难看出：xArARxhH从而得到1xrRA（13.7）8于是类似于S的求法，有2221111arccos)(rhrhrrhrxHQ通过作变换rHRrht1113.9()RxRtRHRHA（）AxRr1而2222111()arcsin1113.10QtRHttt（）RxhHA（13.8）9RAHbdxxHQHV0),()(dttttHRRAHRR12223111arcsin)(这个积分虽然比较复杂，但还是可以积出来，建议读者自己进行计算，也可以借助数学软件。具体结果为dtttt111arcsin222Ctttttt1ln1211arcsin312222从而可知2222)(22arcsin31)(HRHHRARHRHARHVb10232()ln13.11ARRHHRHRRH（）综合（13.4）、（13.6）和（13.11）三式，就有221111arccos)(RHRHRHLRHV2222)(22arcsin32HRHHRARHRHAR232()ln13.12ARRHHRHRRH（）11Ⅱ．刻度位置函数的求法显然，要由油量函数的解析表达式（13.12）来解析地求出反函数H(V)的显式表示是不可能的。介绍两种近似方法。1．插值法将区间[0，R]作如上等分：),,2,1(,00niHiHHi那么由式（13.12）可以求得V在各分点的值：max010(13.13)2nVVVV现在的问题是：如果给出油量V*，如何确定（求出）相应的标尺刻度位置H*？而这实际上是求方程*)(VHV的根。12（1）线性插值设),(1*iiVVV，在此区间上用线性函数近似H(V)，则有***1111(13.14)iiiiiiiiVVVVHHHVVVV（2）二次插值先找出最接近的V*的iV),(11iiVV用二次函数近似H(V)，则有iiiiiiiiiiiiiiHVVVVVVVVHVVVVVVVVH))(())(())(())((111*1*11111*****11111()()(13.15)()()iiiiiiiVVVVHVVVV，然后在插值方法还有多种，这里介绍的是最简单的。132．二分法基本思想？综上所述，可以将标尺刻度设计的过程归纳为：步骤一把区间[0，R]依精度需要分成n等份，得剖分点00HHiHini,2,1；其中HRH利用公式（13.12）算出刻度位置iH处相应的油量),,2,1(niVi。步骤二根据所需的各油量读数所在上一步骤中的某一油量区间，通过插值或二分逼近法获得相应的刻度位置值。14五、数值实例现在我们以5,1,1LAR（单位：m）为例进行实际计算。（1）求油量函数的值取)10,,2,1(,1.0,00iHiHHHi，由油量表达式（16.12）可得计算结果如表13.1所示。iiHcVbVV00.00.00000.00000.000010.10.29360.00230.298220.20.81750.01280.843130.31.47750.03431.546140.42.23650.06822.372950.53.07090.11533.301560.63.96340.17544.314270.74.89960.24815.395880.85.86740.33206.531490.96.85570.42497.7055101.07.85400.52368.9012i15（2）用插值法求刻度位置的值这里我们仅求对应)(934.53*mV的H*的值。由式（13.14）得线性插值近似值为4747.08.08395.54531.68395.5934.57.04531.68395.54531.6934.5*H而由式（13.15）得二次插值近似值为6.0)4531.62314.4)(8395.52314.4()4531.6934.5)(8395.5934.5(*H7.0)4531.68395.5)(2314.48395.5()4531.6934.5)(2314.4934.5(0748.08.0)8395.54531.6)(2314.48395.5()8395.5934.5)(2314.4934.5(两种插值得到的结果有相同的两位有效数字，说明线性插值在此已有了相当的精度。16（3）用二分法求刻度位置的值我们仍以)(934.53*mV即0.0025，那么计算的结果为例，如要求误差界为1/400)(7747.036*mHH与前述插值法的结果很接近。13.6实验任务1691,3P