桂林理工大学概率论与数理统计2011-2012秋季学期考试题解答

GUT2011-2012秋季学期概率论与数理统计试题解答一．单项选择题（每小题3分，共15分）1．设A、B为两个互不相容事件，且0)(,0)(BPAP，则结论正确的是（）A、0)(ABP；B、)()(APBAP；C、0)(BAP；D、)()()(BPAPABP答案：C解答：直接法，因为A、B为两个互不相容事件，所以0)(ABP,0)(/)()(APABPABP2．随意地投掷一均匀的骰子两次，则这两次出现的点数之和为８的概率是（Ｃ）A、363B、364C、365D、362答案：C解答：随意地投掷一均匀的骰子两次，由乘法原理有总共为366*6，两次出现的点数之和为８，设第一次出现的点数为1x，第二次出现的点数为2x只有当6,5,4,3,21x，2,3,4,5,62x时821xx，所以36/5/Nnp3．设随机变量X与Y都服从)1,0(N，则有（Ｃ）A、YX服从标准正态分布；B、22YX服从F分布；C、2X和2Y都服从2分布；D、22YX服从t分布．答案：C解答：此题考查学生对基本概念的熟练程度，由2分布的定义就可以简单的得到答案，很显然2X和2Y都服从参数为1的2分布.4．设总体X服从正态分布)1,(N，其中为未知参数，321,,XXX为样本，下面四个关于的无偏估计中，采用有效性这一标准来衡量，最好的一个是（）A、213132XX；B、321412141XXX；C、316561XX；D、321313131XXX答案：D解答：此题考察在参数估计当中，估计两都是无偏估计时，比较他们的好坏。很简单的从课本中知道，比较其有效性即可。在观察估计量和样本，有正态分布的线性组合性质可以知道，A、)9/5,(~313221NXXB、)8/3,(~412141321NXXXC、)18/13,(~656131NXX；D、)3/1,(~313131321NXXX显然在5/9,3/8,13/18,1/3这几个数中，1/3最小。得到答案。5．若X～),(2N，则增大，XP是（Ｃ）A、单调增大；B、单调减小；C、保持不变；D、增减不定答案：C解答：有正态分布的标准化公式可以知道)1,0(~NX）（,所以6826.0]2/1)1([2)1)(1(FXFPXP.恒定不变。二．填空题（每空3分，共15分）1．设随机事件A与B相互独立，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，且31)(AP，则)(BP答案：31随机事件A与B相互独立，AB=0,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，所以有A-AB=B-AB=1/3.得到答案。2．设随机变量X～)4.0,3(B，且随机变量23XY，则1YP，)(DY．答案：第一空0.432，第二空0.18.解答：由23XY，知道432.0)6.0)(4.0(11213CXPYP，再由变量的方差关系，得18.046.04.03)(41)(DXDY3．设总体X在区间]1,1[上服从均匀分布，nXXX,,,21为其样本，则)(DX答案：1/3n解答：总体X在区间]1,1[上服从均匀分布，则3/1)(DX，n3/1n/)()(DXDX。4．无论2是否已知，正态总体均值的置信区间的中心都是．答案：X解答：有区间估计的相关定理，可以知道，X是的无偏估计，有效估计，相合估计。所以无论2是否已知，正态总体均值的置信区间的中心都是X．三．计算下列各题（共70分）1．（8分）某商店拥有某产品共计12件，其中4件次品，已经售出2件，现从剩下的10件产品中任取一件，求这件是正品的概率．解：设iA表示“已售出的两件中有i件正品”，2,1,0i，B表示“任取一件是正品”则由全概率公式得（2分）分）（分）（分8327)4()()()(1101621228210172121418110182122420CCCCCCCCCCCCCABPAPBPiii2．（10分）设随机变量X与Y相互独立，且X～)2,1(N，Y～)1,0(N，32YXZ求：（1）)E(Z；（2）Z的概率密度；（3）)88.10(ZP．（975.0)96.1(843.0)1(）解：因为)2,1(~NX，)1,0(~NY，所以1)(,2)(,0)(,1)(YDXDYXE（2分）（1）53)()(2)(YEXEZE（4分）（2）因为9)()(4)(YDXDZD（6分）而Z服从正态分布，故18)5(2e231)(zzzf（8分）（3）975.0)96.1()3588.1035()88.10(zPzP（10分）3．（12分）设连续型随机变量X的分布函数为0,00,e1)(xxBxFx．求：（１）B的值；（2）)12(XP；（3）)E(X．解：（1）因为)(xF连续，所以)0()(lim0FxFx（2分）有01B，即1B（4分）（2）1e1)2()1()12(FFXP（7分）（3）dxxxfX)()E(（9分）1e0dxxx（12分）4．（8分）在测量反应时间中，一心理学家估计的标准差为05.0秒，为了以%95的置信度使他对平均反应时间的估计误差不超过01.0秒，应取多大的样本容量n？解：平均反应时间X～),(2nN，其中2205.0（2分）95.0)01.0(XP（4分）即95.0)05.001.0(nnXP1)51(2n（6分）故9696.151975.0nun（8分）5．（12分）（工科学生做，文科学生不做）已知二维连续型随机变量),(YX的联合密度),()1)(1(),(22yxyxcyxf．求：（1）系数c；（2）),(YX落在以)1,1(,)0,1(,)1,0(,)0,0(为顶点的正方形内的概率；（3）求边缘密度函数)(xfX．X与Y是否独立？解：（1）由yxdxdyyxf,1),(（2分）21c（4分）（2）161)11(121022dxxP（7分）（3）)1(111)1(1),()(2222xdyyxduyxfxfx（10分）同理得)1(1)(2yyfy，所以X与Y相互独立（12分）5．（12分）（文科学生做，工科学生不做）已知),(YX的联合分布为求：（1）Y的边缘分布；（2）)2(22YXP；（3）X与Y是否独立？解：（1）Y的边缘分布：1652413487321（4分）YX12312121161618341161（2）因为)1,1()2(22YXYX（6分）所以16151611)1(1)2(2222YXPYXP（8分）（3）X的边缘分布212121（10分）因为21241361，即2..222PPP故X与Y不独立．（12分）6．(10分)设总体X的概率密度为2,02,e1)(2-xxxfx，其中0为未知参数，nXXX,,,21是来自总体X的样本，求的极大似然估计ˆ．解：nXXX,,,21是来自总体X的样本，所以2,02,e1)(2-iixiixxxfi故似然函数niiixnxniniiixfL12211ee1)()(（5分）所以niixnL1)2()ln()(ln（6分）211)2(])2()ln([])([lnniiniixnxnL，令0])([lnL（9分）得2ˆX（10分）7．（10分）某厂用填装机将香水装入同一规格的瓶内，每瓶香水的装量X～)25,(N（单位ml）．现研制一种新的装速较快的填装机，已知它装入每瓶内的香水量服从正态分布，现从新机器所装的香水瓶中任取20瓶，测得香水量2021,,,xxx，经计算得75.221)(2012iixx．试问新机器装的香水量的方差与原来的方差是否有显著差异？)907.8)19(,852.32)19(05.0(2025.02975.0解：25:20H（2分）因为未知，所以选择统计量2022nnS～)1(2n（4分）2012275.221)(,20iinxxnSn907.8)19(,852.32)19(05.02025.02975.0拒绝域为2975.02或2025.02（6分）经计算得)19(87.82575.2212025.02（8分）所以拒绝接受0H，认为新机器装的香水量的方差与原来的方差有显著差异．（10分）