梯形常用解题方法及例题和变式习题训练

梯形的常用辅助线一、平移1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。［例1］如图1，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。图12、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。［例2］如图2，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。图23、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。［例3］如图3，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=25，求证：AC⊥BD。图3【变式1】（平移对角线）已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_____________［例4］如图4，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。图4二、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。［例5］如图5，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。图5【变式2】如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.ABCD【变式3】（延长两腰）如图，在梯形中，，，、为、的中点。三、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。［例6］如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE。图6四、作梯形的高1、作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形。［例7］如图7，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。图72、作两条高：从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形。［例8］如图8，在梯形ABCD中，AD为上底，ABCD，求证：BDAC。图8五、作中位线1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。［例9］如图9，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证：AB＋CD=AD。图92、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。［例10］如图10，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：（1）EF//AD；（2）)ADBC(21EF。图10三、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。例4、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。解、分析：分别延长AE与BC，并交于F点，从而等到△ADE与△FCE是全等的，在利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可以求出结论”。模拟试题1.若等腰梯形的锐角是60°，它的两底分别为11cm，35cm，则它的腰长为__________cm.2.如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，则此等腰梯形的周长为（）A.19B.20C.21D.22ABCD3.如图所示，AB∥CD，AE⊥DC，AE＝12，BD＝20，AC＝15，则梯形ABCD的面积为（）A.130B.140C.150D.160ABCDE4.如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，对角线AC与BD互相垂直，且AD＝30，BC＝70，求BD的长.ABCD5.如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.ABCD6.如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求DE的长.ABCDE7.如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求AB的长.ABCD8.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，（1）若E是AB的中点，且AD＋BC＝CD，则DE与CE有何位置关系？（2）E是∠ADC与∠BCD的角平分线的交点，则DE与CE有何位置关系？ABCDE课后演练BCADE1、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠BAD、∠CDA的平分线AE、DF分别交直线BC于点E、F．求证：CE=BF．2．如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，9038BDCDBDCADBC，°，，．求AB的长．3．如图6，在梯形ABCD中，ADBC∥，90A，45C，DE=EC，AB=4,AD=2，求BE的长．4．如图，在平面直角坐标系中，A（23，0），B（23，2）.把矩形OABC逆时针旋转30得到矩形111OABC.（1）求1B点的坐标；（2）求过点（2，0）且平分矩形111OABC面积的直线l方程；（3）设（2）中直线l交y轴于点P，直接写出1PCO与11PBA的面积和的值及1POA与11PBC的面积差的值.备用图yx4O4xyOEC'ABCDP5.如图，矩形纸片ABCD中，BC=4，AB=3，点P是BC边上的动点(点P不与点B、C重合)．现将△PCD沿PD翻折，得到△PC’D；作∠BPC’的角平分线，交AB于点E．设BP=x,BE=y,则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是6．已知：如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，对角线AC、BD交于点O，∠COD=60°，若CD=3，AB=8，求梯形ABCD的高．7．已知如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为.8、图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，BCDOA12题图DCPBA沿路线BCD作匀速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是9．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，10CDBC，21AB，9AD．求AC的长．10如图，直线1l：1yx与直线2l：ymxn相交于点),1(bP．（1）求b的值；（2）不解关于yx,的方程组请你直接写出它的解；（3）直线3l：ynxm是否也经过点P？请说明理由．11．已知：关于x的一元二次方程01)2()1(2xmxm（m为实数）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；O3113SxA．O113SxO3Sx3O113SxB．C．D．2OxOyOP10题1l2l12．已知：如图，直线323xy与x轴、y轴分别交于点A和点B，D是y轴上的一点，若将△DAB沿直线DA折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，求直线CD的解析式．14．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，BD⊥DC，∠C=60°，AD=4，BC=6，求AB的长．15．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠BAC=105°，AD=CD=4．求BC的长．ABCDxyODCBADABCxyO16．已知：将函数33yx的图象向上平移2个单位，得到一个新的函数的图像．(1)求这个新的函数的解析式；(2)若平移前后的这两个函数图象分别与y轴交于O、A两点，与直线3x交于C、B两点．试判断以A、B、C、O四点为顶点的四边形形状，并说明理由；17如图，在梯形CDAB中，AB∥DC，DCADB平分，过点A30BDC°，3AD求CD的长．