椭圆上的点对两焦点的张角问题的性质变式探究

椭圆上的点对两焦点的张角问题的性质变式探究题目：在椭圆120y45x22求一点P，使它与两个焦点的连线互相垂直。引申1：椭圆14y9x22的两个焦点是F1、F2，，点P为它上面一动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是___________。分析：受原题的启发，无论是钝角还是锐角，都是以直角为参照，该题解法很多，但以几何法最为简洁。如图，以坐标原点O为圆心，以|F1F2|为直径画圆与椭圆交于A、B、C、D四点，由直径所对的圆周角是直角可知：当点P位于A、B、C、D四点时，∠F1PF2为直角，当点P位于椭圆上弧AB或弧CD上时，∠F1PF2为钝角；锐角的情况不言而喻，易求点P横坐标的取值范围是)553,553(。引申2：双曲线116y9x22的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为_____________。分析：该题将原题中的椭圆改为双曲线，而点到x轴的距离等于点的纵坐标的绝对值，以|F1F2|为直径作圆与双曲线的交点（即点P）的坐标，易求点P的纵坐标为516，故所求距离为516。引申3：已知椭圆19y16x22的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2为直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A.59B.3C.779D.49分析：该题是将原题中∠21PFF为直角改为△21PFF为直角三角形，题中没确定哪个角为直角，从而使该题更具有开放性，当∠21PFF=90°时，只要找以|F1F2|为直径的圆与椭圆的交点纵坐标，显然以|F1F2|为直径的圆的方程7yx22与椭圆19y16x22无交点，故此种情况无解；当∠21FPF=90°或∠12FPF=90°时，易求点P到x轴的距离为49ab2，故选D。引申4：F1、F2是椭圆C：14y8x22的两焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为__________。分析：该题只将求点的坐标改为判断点的个数，但解法是相同的，只是求以|F1F2|为直径的圆与椭圆的交点个数，显然以|F1F2|为直径的圆方程为4yx22，与椭圆C：14y8x22相切于椭圆短轴端点，故点P的个数为2个。引申5：设椭圆1y1mx22的两个焦点是F1（－c，0），F2（c，0），c0，且椭圆上存在点P，使得PF1与PF2垂直，求实数m的取值范围。分析：显然该题在椭圆中引入参数，将求点的坐标改为“求参数的取值范围”的热点问题，解法是相同的，要使椭圆上存在点使PF1⊥PF2，只需以F1F2为直径的圆与椭圆有交点，也就是椭圆的焦距大于或等于椭圆的短轴长，即bc，易得1m。下面将上述问题推广到一般：结论1：已知F1、F2是椭圆1byax2222（ab0）的两个焦点。（1）若椭圆上存在点P，使PF1⊥PF2，则椭圆离心率的范围是1e22；（2）若椭圆上存在点P，使∠21PFF为钝角，则椭圆的离心率的范围是1e22；（3）若椭圆上存在点P，使∠21PFF，则椭圆的离心率的范围是1e2sin。证明：（1）若存在点P，使PF1⊥PF2，表明bc，因而222abc－2c，解得1e22。（2）若存在点P，使∠21PFF为钝角，表明cb，因而222cabc，解得e221。（3）在△21PFF中，由余弦定理得cos|PF||PF|2|PF||PF||FF|212221221=（|PF|1＋|PF|2）2－)cos1(|PF||PF|221∴221221)2|PF||PF|)(cos1(b2)cos1(|PF||PF|∴22a)cos1(b2，2cosa2a)cos1(c2a222222，解得1e2sin。结论2：椭圆)0ba(1byax2222上对两焦点张角为θ（0）的点P的个数由θ与∠201FPF=bcarctan2（P0为椭圆短轴的一个端点）的大小确定，当bcarctan2时，P点有0个；当bcarctan2时，P点有2个；当bcarctan2时，P点有4个。分析：若点P为椭圆)0ba(1byax2222上的动点，则cos∠F1PF2=|PF||PF|2|FF||PF||PF|2122122212212121212(||||)2||||||2||||PFPFPFPFFFPFPF21221||||bPFPF，∵a2|PF||PF|21，∴当|PF||PF|21，即点P在短轴上时，cos∠21PFF有最小值，从而∠21PFF有最大值，即当点P在短轴上时∠21PFF取最大值，进而易知结论2成立。