概率的计算

重点概率的计算难点如何用已知事件表达其它事件，正确判断试验的概型疑难分析(1)互斥与独立1)两事件相互独立是指事件出现的概率与事件是否出现没有关系，并不是说间没有关系。相反若独立，则常有Ø，即与不互斥。互斥是指的出现必导致的不出现，并没有说出现的概率与是否出现有关系。事实上，当，时，若互斥，则，从而，但，因而等式不成立，即互斥未必独立。若独立，则，从而不互斥（否则，，导致矛盾）。2)在使用加法公式时，若互斥，；若独立，。(2)关于事件并的概率的计算多个事件的并的概率计算问题，常常会遇到。归纳起来，有以下三种情况：1)若两两互斥，则。2)若相互独立，则可把求事件并的概率转化为求独立事件积的运算。。例1．如果一危险情况发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性，在发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合，警报就发出。如果两个这样的开关并联连接，它们每个具有0.96的可靠性（即在情况发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多少只开关并联？这里设各开关闭合与否都是相互独立的。解表示第个开关在发生时闭合，知表示警报发生，那么，所以。，故。当时，。当，则。3)若既不互斥也不相互独立，则可用一般加法公式。例2．随机地将封信放进个写有不同的地址的信封中。求至少一封信是配对的概率。解令分别表示事件：第一封信是配对的，第二封信是配对的，…，第封信是配对的，则至少有一封信是配对的概率。（1）对第一封信来说，只信封仅有一只是正确的，于是，类似地有。（2）如果第一封信放对了，则放第二封信时有个信封，其中仅有一个是正确的。所以。（3）类似地，可求得；（4）。（5）在和式中，有项，每一项的值均由（3）给出，中，有项，每一项的值均由（4）给出，如此可得。如果很大，所求的概率非常接近于。(3)条件概率是不是概率？它与无条件概率有何区别？条件概率是一种概率，可以验证，它满足概率定义中的三个条件，具体地说，是在原条件组的基础上又加上“发生”这个条件时，发生的概率，它与无条件概率（普通概率）的区别，就在于后者发生的条件，还是原来的条件组。这里所谓“无条件”是指“无新条件”，原来的条件组并非可无。(4)条件概率与积事件的概率有何区别？表示在这样本空间中，计算发生的概率，而表示在缩减的样本空间中，计算发生的概率，用古典概率公式，则中基本事件中基本事件数；中基本事件中基本事件数，一般说，比大，初学者在计算条件概率问题时，有时比较容易将积事件概率与条件概率混淆，这时须弄清：条件概率一定是在某事件已发生的条件下该事件发生的概率。(5)贝叶斯公式在实际问题中得到广泛应用的理论依据何在？贝叶斯公式有着十分广泛的用途，它之所以被称为逆概公式，是因为它实际是在知道结果的情况下来推断原因：是可能导致出现的原因。是各种原因出现的可能性大小，一般是过去经验的总结，称为先验概率。若现在已知出现了，我们要求它是由哪个原因引起的概率，这就是，称为后验概率。它反映了试验之后对原因发生可能性大小的新知识。例如医生诊断病人所患何病（中的某一个），他确定某种症状（如体温，某种化验指标等等）出现，现在实际就是求，通过比较它们的大小就可对疾病做出诊断。此时贝叶斯公式显然是很有用的。在这里是人患各种病可能性大小，这可从资料中获得，而的确定则要依靠医学知识，有了它，就可求得。如果综合从多个症状所得到的条件概率，诊断会更准确一些。按照上述的思路，采用计算机进行诊断原则上也是完全可行的。(6)实际应用中，如何判断两事件的独立性？实际应用中，对于事件的独立性，我们常常不是用定义来判断，而是由试验方式来判断试验的独立性，由试验的独立性来判断事件的独立性，或者说根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件的概率来判断。例如，在放回摸球（袋中有白球和红球）试验中，表示“第一次摸得白球”，表示“第二次摸得白球”。由于只与第一次试验有关，只与第二次试验有关，可知与独立，而在不放回摸球试验中，它们却不独立，又如甲、乙两名射手在相同条件下进行射击，则“甲击中目标”与“乙击中目标”两事件是独立的。如果对实际问题中的事件还难以判断它们是否独立，则需要利用统计资料进行分析，再来判断是否符合事件独立性的条件。