概率统计第四章随机变量的数字特征

1第四章随机变量的数字特征知道了随机变量的概率分布也就知道了它的全部统计特性．然而，在许多实际问题中，随机变量的概率分布往往不易求得，也有不少实际问题并不需要我们知道随机变量的全部统计特性，而只需要知道它的某些主要统计特征．举例：学生成绩．首先要知道平均成绩，其次又要注意各个学生的成绩与平均成绩的偏离程度.平均成绩越高，偏离程度越小，学生学习成绩就越好。我们把表示随机变量某些特征的数值称为随机变量的数字特征，它们反映了随机变量的某些本质属性．许多重要的分布往往由这些数字特征唯一确定．本章主要介绍数学期望、方差、相关系数和矩．第一节数学期望一数学期望的定义1.引例设有十个数字1，1，2，2，2，3，3，3，3，4以X表示平均值，则有11222333342.4,10X又可以写成234112342.410101010X。显然，这里的2341,,,10101010实际上是数字1，2，3，4在这十个数字中所占的份额，我们可以称之为这四个数字的“权重”，所以上式又可称为是1，2，3，4这四个数字的加权平均数。再换一个角度，设想这是十张写有数字的卡片，随机从中取出一张，观察到的数值为X，则它是一个随机变量，它的可能取值为1，2，3，4，而它的分布律为：12231,2,1010pPXpPX34413,4,1010pPXpPX因此，4123411234.10101010kkkxp实质上就是随机变量X的取值的平均数。受此问题的启发，引出如下数学期望的定义.2．数学期望（Mathematicalexpectation）或均值(Mean)的定义1）[定义]设X是离散型随机变量，其概率函数为,1,2,kkPXxpk如果级数1kkkxp绝对收敛，则定义X的数学期望为1.kkkEXxp；2）[定义]设X为连续型随机变量，其概率密度为fx，如果广义积分xfxdx绝对可积，则定义X的数学期望为EXxfxdx.【注1】数学期望即随机变量的平均取值，它是X所有可能取值以概率为权重的加“权”平均．考察随机变量的平均取值．【注2】连续型随机变量的数学期望和离散型随机变量的数学期望的实质是相同的：相当于k；x相当于kx；fxdx相当于kp.【注3】物理解释：数学期望——重心．设有总质量为m的r个质点12,,,rAAA构成的质点系，记点iA在x轴上的坐标为ix，质量为1,2,,imir，求该质点系的重心坐标.解：记质点系的重心坐标为cx，于是11221rirrciimxmxmxmxxmm，这里imm是在点ix处的质量占总质量的比重，因此是以为权的加“权”平均．例１甲、乙两人作射击比赛，命中环数分别为12,XX，它们的分布律分别为2问：哪一个射手的本领较好？解1()80.490.1100.59.1EX（环）2()80.490.2100.49.0EX（环）显然,12()()EXEX，因此甲比乙的本领要好些．例2设随机变量X的密度函数为：1,10~1,01xxXfxxx，求()EX．解：011011Exxfxdxxxdxxxdx232301102323xxxx111102323.二随机变量函数的数学期望1.[定义]设X为离散型随机变量，其概率函数,1,2,kkPXxpk，yfx为连续函数，且级数1kkkfxp绝对收敛，则X的函数YfX的数学期望为1kkkEYEfXfxp2．[定义]设X为连续型随机变量，其概率密度为()fx，如果广义积分()()gxfxdx绝对收敛，则X的函数()gX的数学期望为：[()]()()EgXgxfxdx.例3.设离散型随机变量X的分布律如下，求：2EX.X012P3/106/101/10解：222200.310.620.11EX.例4.设风速X是一个随机变量，在[0，a]上服从均匀分布，而飞机的两机翼受到的压力Y与风速X的平方成正比，即，20YkXk，求：EY.解：X的密度函数为1,00,0,xafxaxxa，而2ykx，所以22011()3aEYgxfxdxkxdxkaa.三数学期望的性质1.()ECC(其中c为常数)；2.ECXCEX(其中c为常数)；3.()()()EXYEXEY；4.如果X与Y相互独立，则()()()EXYEXEY.例4.若X的数学期望E（X）存在，求：33EXEX解：3333330EXEXEXEEXEXEX2Xkp89100.40.20.41Xkp0.40.10.589103第二节方差与标准差一方差（Variance）与标准差(Standarddeviation)的概念1．方差与标准差的定义[定义]设X是随机变量，若2{[()]}EXEX存在，则称2{[()]}EXEX为X的方差，记为()DX或()VarX，即2()(){[()]}DXVarXEXEX．随机变量X的标准差定义为方差()DX的算术平方根()DX，记为()X．从定义中可清楚地看出：方差实际上是随机变量X的函数gX2XEX的数学期望，于是当X为离散型随机变量，其方差为21kkKDXxEXp；当X为连续型随机变量，其方差为2DXxEXfxdx.【注1】方差描述的是随机变量取值的波动程度，或随机变量偏离均值的程度．2.计算方差的简便公式：利用数学期望的性质，可以得到：2222DXEXEXEXXEXEX222EXEXEXEX22EXEX.因此，方差的计算常常用简便公式：22DXEXEX例1设1,10~()1,010,xxXfxxx其他，求：DX解：011011Exxfxdxxxdxxxdx=0；01222101116EXxxdxxxdx；所以：2211066DXEXEX.二方差的性质1.()0Dc(c是常数)；2.2DCXCDX(c是常数)；3.DXCDX(c是常数)；4.如果X与Y独立，则()()()DXYDXDY这个结论可以推广到有限个相互独立的随机变量的情况：设12,,,nXXX相互独立，则有1212()nnDXXXDXDXDX.例2.设两个相互独立的随机变量X与Y，它们的方差分别为4和2，求32DXY解：323294944244DXYDXDYDXDY.例3.随机变量X有EXDX，且已知121,EXX求,EXDX解：由22123232EXXEXXEXEX232DXEXEX42221,EXEX∴2[1]0EX，故：1EXDX.三常用分布的数学期望与方差分布名称数学期望方差0-1分布pp(1p)二项分布,Bnpnpnp(1p)泊松分布π()均匀分布,Uab2ab212ba指数分布Exp()121正态分布N(,2)2例4.设随机变量X在区间,ab上服从均匀分布，求,EXDX解：1,0,axbfxbaxaxb，12baabEXxfxdxxdxba；22222113baEXxfxdxxdxaabbba；∴22222213212baabDXEXEXaabb.例5.设随机变量X服从参数为,np的二项分布，求,EXDX解：由二项分布的定义可知：随机变量X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p.现在引进随机变量1,1,2,,0,iXin，1iX表示在第i次试验中A发生；0iX表示在第i次试验中A不发生，则12nXXXX.由于各次试验的独立性，且1,iPXp01iPXp，可得：011iEXppp，222011iEXppp，2221iDXEXEXpppp，1,2,,in所以：1212nnEXEXXXEXEXEXnp；12121nnDXDXXXDXDXDXnpp.【注2】当直接求某个随机变量的数学期望或方差有困难或计算麻烦时，一个较为有效的处理技巧是把它分解成若干容易求数学期望或方差的随机变量的和，从而可以方便地求出该随机变量的数学期望或方差。5四切比雪夫（Chebyshev）不等式[切比雪夫定理]对于随机变量X，()EX，2()DX，则对于任意0，22{||}PX，或22{||}1PX．——切比雪夫（Chebyshev）不等式（证略）【注2】从定理中看出，()DX越小，随机变量X取值于(,)EXEX中的概率就越大，这就说明方差是一个反映随机变量的概率分布对其分布中心(EX)的集中程度的数量指标．【注3】利用切比雪夫不等式，可以在随机变量X的分布未知的情况下估算事件{}X的概率(只不过精度太差)．切比雪夫不等式在理论上的意义更大一些.例6.设随机变量X的数学期望,EX方差20DX，若XY，求EY及DY.解：110XEYEEXEX2222222211DXXDYEYEYEEX这说明：XY具有数学期望为0，方差为1.称Y为X经标准化后的随机变量.例7.设随机变量12,,,nXXX相互独立，服从相同的分布，且2,EXDX，求11niiXXn的数学期望和方差.解：11111()nniiiiEXEXEXnnnn；222211111nniiiiDXDXDXnnnnn.例8.某批产品的次品率为0.04，试用切比雪夫不等式估计15000件产品中，次品数在500～700件之间的概率.解：设次品数为X，则X服从二项发布，所以150000.04600EXnp；150000.040.96576DXnpq，即500700600100PXPX，其中100.由切比雪夫不等式21DXPXEX可得：2576500700600100110.05670.9433100PXPX.*第三节矩、协方差及相关系数一.协方差(Covariance)6设(,)XY为二维随机变量，随机变量(,)XY的协方差定义为cov(,)[(())(())]XYEXEXYEY．计算协方差常用下列公式：cov(,)()(