概率论与数理统计(刘建亚)习题解答第3章

1概率论与数理统计（刘建亚）习题解答——第三章3－1解：1283)3,1()3,2()5,1()5,2()53,21(FFFFYXP3－2解：YX-1120001/21.501/41/821/8003－3解：YX1234.)(iipxXP11/40001/421/81/8001/431/121/121/1201/441/161/161/161/161/4jjpyYP.)(25/4813/487/481/1613－4解：X的取值：3，4；Y的取值：1，2。所以)2,1(),4(45243jCCCjYjXPjjYX12203/532/5023－5解：（1）由归一性112),(040300)43(AdyedxeAdydxAedydxyxfyxyx∴A＝1（2）当0,0yx时)1)(1(12),(),(4300)43(yxxyvuxyeedvduedvduvufyxF当yx,为其它时，0),(yxF∴其它00,0)1)(1(),(43yxeeyxFyx（3）)1)(1(12)20,10(831020)43(eedydxeYXPyx3－6解：由分布函数的性质0)2)(2arctan()3arctan)(2arctan(lim),(0)3arctan)(2()3arctan)(2arctan(lim),(1)2)(2()3arctan)(2arctan(lim),(CxBAyCxBAxFyCBAyCxBAyFCBAyCxBAFyxyx三式联立解得2,2,12CBA)9)(4(61)3(131)2(1211),(),(2222222yxyxyxyxFyxf3－7解：（1）当10x时xxdyxyxdyyxfxfX322)3(),()(2202当10xx或时，∵0),(yxf∴0)(xfX3其它010322)(2xxxxfX（2）当20y时，3161)3(),()(102ydxxyxdxyxfyfY当y为其它时，∵0),(yxf∴0)(yfY其它0203161)(yyyfY3－8解：所包含的面积为61)(1102102dyxxdydxSxxD∴其它0),(6),(Dyxyxf（1）当10x时，)(66),()(22xxdydyyxfxfxxX当x为其它时，0)(xfX∴其它010)(6)(2xxxxfX（2）当10y时，)(66),()(yydxdxyxfyfyyY当y为其它值时，0)(yfY∴其它010)(6)(yyyyfY3－9解：（1）当10x时，xdydyyxfxfxxX21),()(当x为其它时，0)(xfX∴其它0102)(xxxfX（2）当1xy时，ydxdxyxfyfyY11),()(14当y为其它值时，0)(yfY∴其它011)(xyyyfY（3）其它0111)(),()|(|xyyyfyxfyxfYYX其它01021)(),()|(|xxxfyxfxyfXXY3－10解：由归一性616),(10102AAdydxAxydydxyxf当10x时，xdyxydyyxfxfX26),()(102当x为其它时，0)(xfX∴其它0102)(xxxfX同理，其它0103)(2yyyfY其它01,06)()(2yxxyyfxfYX即),()()(yxfyfxfYX，∴X，Y相互独立。3－11YX12311/61/91/1821/31/a1/b解：X，Y的边缘分布分别为5X12pi.1/31/3+1/a+1/bY123p.j1/21/9+1/a1/18+1/b若X，Y相互独立，则P(X＝i，Y＝j)＝P(X＝i)P(Y＝j)P(X＝1，Y＝2)＝P(X＝1)P(Y＝2)⇒1/9=1/3(1/9+1/a)⇒a=9/2；P(X＝1，Y＝3)＝P(X＝1)P(Y＝3)⇒1/18=1/3(1/18+1/b)⇒b=9。X，Y的边缘分布分别为：X12pi.1/32/3Y123p.j1/21/31/6因X，Y相互独立，则P(X＝i|Y＝1)＝P(X＝i)所以P(X＝1|Y＝1)＝P(X＝1)＝1/3；P(X＝2|Y＝1)＝P(X＝2)＝2/3。3－12解：（1）∵X，Y相互独立，∴其它00,0)()(),()(yxeyfxfyxfyxYX；（2）∵X，Y相互独立，∴11011)()1()0|1(edxedxxfXPYXPxX3－13解：2112101121),()1(eedxdyedxdyyxfYXPxxyyx3－14解：6∵X，Y相互独立，∴dxxzfxfzfYXZ)()()(当0z时，)1(3121)(63032zzzxzxZeedxeezf当0z时，)0)(zfZ∴000)1()(63zzeezfzzZ3－15解：dyyfyzfzfYXZ)()()(由已知条件当10yz时，即zyz1时，0)(yzfX；当0y时，0)(yFY（1）当0z时，由10yz得0zy∴0)(zfZ（2）当10z时，由10yz及0y得zy0∴zzyZedyezf1)(0（3）当1z时，由10yz得zyz1∴zzzzyZeedyezf)1(1)(综上得110100)()1(zeezezzfzzzZ3－16解：略。3－17解：当0x时，0)(xFX；7当0x时，xxtxXXedtedttfxF1)()(0∴0001)(xxexFxX同理，0001)(yyeyFyY（1）串联，寿命取决于最短的，),min(YXZ当0z时，0)(minzF当0z时，zYXezFzFzF)(min1)(1)(11)(0001)()(minzzezFz000)()()()('minminzzezFzfz（2）并联，寿命取决于最长的，),max(YXZ，同理得000)1)(1()(maxzzeezFzz000)()()()('maxmaxzzeeezFzfzzz