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当前位置:首页 > 临时分类 > 概率论与数理统计(理工类,第四版)吴赣昌主编课后习题答案第七章
写在前面:由于答案是一个个复制到word中,比较耗时耗力,故下载收取5分,希望需要的朋友给予理解和支持!PS:网上有一些没经我同意就将我的答案整合、转换成pdf,放在文库里的,虽然是免费的,但是窃取了我的劳动成果,希望有心的朋友支持我一下,下载我的原版答案。第七章假设检验7.1假设检验的基本概念习题1样本容量n确定后,在一个假设检验中,给定显著水平为α,设此第二类错误的概率为β,则必有().(A)α+β=1;(B)α+β1;(C)α+β1;(D)α+β2.解答:应选(D).当样本容量n确定后,α,β不能同时都很小,即α变小时,β变大;而β变小时,α变大.理论上,自然希望犯这两类错误的概率都很小,但α,β的大小关系不能确定,并且这两类错误不能同时发生,即α=1且β=1不会发生,故选(D).习题2设总体X∼N(μ,σ2),其中σ2已知,若要检验μ,需用统计量U=X¯-μ0σ/n.(1)若对单边检验,统计假设为H0:μ=μ0(μ0已知),H1:μμ0,则拒绝区间为;(2)若单边假设为H0:μ=μ0,H1:μμ0,则拒绝区间为(给定显著性水平为α,样本均值为X¯,样本容量为n,且可记u1-α为标准正态分布的(1-α)分位数).解答:应填(1)Uu1-α;(2)Uuα.由单侧检验及拒绝的概念即可得到.习题3如何理解假设检验所作出的“拒绝原假设H0”和“接受原假设H0”的判断?解答:拒绝H0是有说服力的,接受H0是没有充分说服力的.因为假设检验的方法是概率性质的反证法,作为反证法就是必然要“推出矛盾”,才能得出“拒绝H0”的结论,这是有说服力的,如果“推不出矛盾”,这时只能说“目前还找不到拒绝H0的充分理由”,因此“不拒绝H0”或“接受H0”,这并没有肯定H0一定成立.由于样本观察值是随机的,因此拒绝H0,不意味着H0是假的,接受H0也不意味着H0是真的,都存在着错误决策的可能.当原假设H0为真,而作出了拒绝H0的判断,这类决策错误称为第一类错误,又叫弃真错误,显然犯这类错误的概率为前述的小概率α:α=P(拒绝H0|H0为真);而原假设H0不真,却作出接受H0的判断,称这类错误为第二类错误,又称取伪错误,它发生的概率β为β=P(接受H0|H0不真).习题4犯第一类错误的概率α与犯第二类错误的概率β之间有何关系?解答:一般来说,当样本容量固定时,若减少犯一类错误的概率,则犯另一类错误的概率往往会增大.要它们同时减少,只有增加样本容量n.在实际问题中,总是控制犯第一类错误的概率α而使犯第二类错误的概率尽可能小.α的大小视具体实际问题而定,通常取α=0.05,0.005等值.习题5在假设检验中,如何理解指定的显著水平α?解答:我们希望所作的检验犯两类错误的概率尽可能都小,但实际上这是不可能的.当样本容量n固定时,一般地,减少犯其中一个错误的概率就会增加犯另一个错误的概率.因此,通常的作法是只要求犯第一类错误的概率不大于指定的显著水平α,因而根据小概率原理,最终结论为拒绝H0较为可靠,而最终判断力接受H0则不大可靠,其原因是不知道犯第二类错误的概率β究竟有多少,且α小,β就大,所以通常用“H0相容”,“不拒绝H0”等词语来代替“接受H0”,而“不拒绝H0”还包含有再进一步作抽样检验的意思.习题6在假设检验中,如何确定原假设H0和备择假设H1?解答:在实际中,通常把那些需要着重考虑的假设视为原假设H0,而与之对应的假设视为备择假设H1.(1)如果问题是要决定新方案是否比原方案好,往往将原方案取假设,而将新方案取为备择假设;(2)若提出一个假设,检验的目的仅仅是为了判断这个假设是否成立,这时直接取此假设为原假设H0即可.习题7假设检验的基本步骤有哪些?解答:根据反证法的思想和小概率原理,可将假设检验的步骤归纳如下:(1)根据问题的要求,提出原理假设H0和备择假设H1.(2)根据检验对象,构造检验统计量T(X1,X2,⋯,Xn),使当H0为真时,T有确定的分布.(3)由给定的显著水平α,查统计量T所服从的分布表,定出临界值λ,使P(∣T∣λ)=α,或P(Tλ1)=P(Tλ2)=α/2,从而求出H0的拒绝域:∣T∣λ或Tλ1,Tλ2.(4)由样本观察值计算统计量T的观察值t.(5)作出判断,将t的值与临界值比较大小作出结论:当t∈拒绝域量时,则拒绝H0,否则,不拒绝H0,即认为在显著水平α下,H0与实际情况差异不显著.习题8假设检验与区间估计有何异同?解答:假设检验与区间估计的提法虽不同,但解决问题的途径是相通的.参数θ的置信水平为1-α的置信区间对应于双边假设检验在显著性水平α下的接受域;参数θ的置信水平为1-α的单侧置信区对应于单边假设检验在显著性水平α下的接受域.在总体的分布已知的条件下,假设检验与区间估计是从不同的角度回答同一个问题.假设检验是判别原假设H0是否成立,而区间估计解决的是“多少”(或范围),前者是定性的,后者是定量的.习题9某天开工时,需检验自动包装工作是否正常.根据以往的经验,其装包的质量在正常情况下服从正态分布N(100,1.52)(单位:kg).现抽测了9包,其质量为:99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.0,100.5.问这天包装机工作是否正常?将这一问题化为假设检验问题.写出假设检验的步骤(α=0.05).解答:(1)提出假设检验问题H0:μ=100,H1:μ≠100;(2)选取检验统计量U:U=X¯-1001.59,H0成立时,U∼N(0,1);(3)α=0.05,uα/2=1.96,拒绝域W={∣u∣1.96};(4)x¯≈99.97,∣u∣=0.06.因∣u∣uα/2=1.96,故接受H0,认为包装机工作正常.习题10设总体X∼N(μ,1),X1,X2,⋯,Xn是取自X的样本.对于假设检验H0:μ=0,H1:μ≠0,取显著水平α,拒绝域为W={∣u∣uα/2},其中u=nX¯,求:(1)当H0成立时,犯第一类错误的概率α0;(2)当H0不成立时(若μ≠0),犯第二类错误的概率β.解答:(1)X∼N(μ,1),X¯∼N(μ,1/n),故nX¯=u∼N(0,1).α0=P{∣u∣uα/2∣μ=0}=1-P{-uα/2≤u≤uα/2}=1-[Φ(uα/2)-Φ(-uα/2)]=1-[(1-α2)-α2]=α,即犯第一类错误的概率是显著水平α.(2)当H0不成立,即μ≠0时,犯第二类错误的概率为β=P{∣u∣≤uα/2∣E(X)=μ}=P{-uα/2≤u≤uα/2∣E(X)=μ}=P{-uα/2≤nX¯≤uα/2∣E(X)=μ}=P{-uα/2-nμ≤n(X¯-μ)≤uα/2-nμ∣E(X)=μ}=Φ(uα/2-nμ)-Φ(-uα/2-nμ).注1当μ→+∞或μ→-∞时,β→0.由此可见,当实际均值μ偏离原假设较大时,犯第二类错误的概率很小,检验效果较好.注2当μ≠0但接近于0时,β≈1-α.因α很小,故犯第二类错误的概率很大,检验效果较差.7.2单正态总体的假设检验习题1已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.55,0.1082).现在测定了9炉铁水,其平均含碳量为4.484.如果估计方差没有变化,可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55(α=0.05)?解答:本问题是在α=0.05下检验假设H0:μ=4.55,H1:μ≠4.55.由于σ2=0.1082已知,所以可选取统计量U=X¯-4.550.108/9,在H0成立的条件下,U∼N(0,1),且此检验问题的拒绝域为∣U∣=∣X¯-4.550.108/9∣uα/2,这里u=4.484-4.550.108/9≈-1.833,uα/2=1.96.显然∣u∣=1.8331.96=uα/2.说明U没有落在拒绝域中,从而接受H0,即认为现在生产之铁水平均含碳量仍为4.55.习题2要求一种元件平均使用寿命不得低于1000小时,生产者从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命的平均值为950小时.已知该种元件寿命服从标准差为σ=100小时的正态分布,试在显著性水平α=0.05下确定这批元件是否合格?设总体均值为μ,μ未知,即需检验假设H0:μ≥1000,H1:μ1000.解答:检验假设H0:μ≥1000,H1:μ1000.这是单边假设检验问题.由于方差σ2=0.05,故用u检验法.对于显著性水平α=0.05,拒绝域为W={X¯-1000σ/n-uα.查标准正态分布表,得u0.05=1.645.又知n=25,x¯=950,故可计算出x¯-1000σ/n=950-1000100/25=-2.5.因为-2.5-1.645,故在α=0.05下拒绝H0,认为这批元件不合格.习题3打包机装糖入包,每包标准重为100kg.每天开工后,要检验所装糖包的总体期望值是否合乎标准(100kg).某日开工后,测得9包糖重如下(单位:kg):99.398.7100.5101.298.399.799.5102.1100.5打包机装糖的包得服从正态分布,问该天打包机工作是否正常(α=0.05)?解答:本问题是在α=0.05下检验假设H0:μ=100,H1:μ≠100.由于σ2未知,所以可选取统计量T=X¯-100S/n,在H0成立的条件下,T∼t(n-1),且此检验问题的拒绝域为∣T∣=∣X¯-100S/n∣tα/2(n-1),这里t=x¯-100s/n≈99.978-1001.2122/9≈-0.0544,t0.025(8)=2.306.显然∣t∣=0.05442.306=t0.025(8),即t未落在拒绝域中,从而接受H0,即可以认为该天打包工作正常.习题4机器包装食盐,假设每袋盐的净重服从正态分布,规定每袋标准含量为500g,标准差不得超过10g.某天开工后,随机抽取9袋,测得净重如下(单位:g):497,507,510,475,515,484,488,524,491,试在显著性水平α=0.05下检验假设:H0:μ=500,H1:μ≠500.解答:x¯=499,s≈16.031,n=9,t=(x¯-μ0)sn=499-50016.0319=-0.1871,α=0.05,t0.025(8)=2.306.因∣t∣t0.025(8),故接受H0,认为该天每袋平均质量可视为500g.习题5从清凉饮料自动售货机,随机抽样36杯,其平均含量为219(mL),标准差为14.2mL,在α=0.05的显著性水平下,试检验假设:H0:μ=μ0=222,H1:μμ0=222.解答:设总体X∼N(μ,σ2),X代表自动售货机售出的清凉饮料含量,检验假设H0:μ=μ0=222(mL),H1:μ222(mL).由α=0.05,n=36,查表得t0.05(36-1)=1.6896,拒绝域为W={t=x¯-μ0s/n-tα(n-1).计算t值并判断:t=219-22214.2/36≈-1.27-1.6896,习题6某种导线的电阻服从正态分布N(μ,0.0052).今从新生产的一批导线中抽取9根,测其电阻,得s=0.008Ω,对于α=0.05,能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005?解答:本问题是在α=0.05下检验假设H0:σ2=0.0052,H1:σ2≠0.0052.选取统计量χ2=n-1σ2S2,在H0成立的条件下,χ2∼χ2(n-1),且此检验问题的拒绝域为χ2χα/22(n-1)或χ2χ1-α/22(n-1).这里χ2=9-10.0052s2=80.0052×0.0082=20.48,χ0.9752(8)=2.18,χ0.0252(8)=17.5.显然χ2落在拒绝域中,从而拒绝H0,即不能认为这批导线电阻的标准差仍为0.005.习题7某厂生产的铜丝,要求其折断力的方差不超过16N2.今从某日生产的铜丝中随机抽取容量为9的样本,测得其折断力如下(单位:N):289,286,285,286,285,284,285,286,298,292设总体服从正态分布,问该日生产的铜线的折断力的方差是否符合标准(α=
本文标题:概率论与数理统计(理工类,第四版)吴赣昌主编课后习题答案第七章
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