概率论与数理统计(理工类,第四版)吴赣昌主编课后习题答案第四章

第四章随机变量的数字特征4.1数学期望习题1设随机变量X服从参数为p的0-1分布，求E(X).解答：依题意，X的分布律为X01P1-pp由E(X)=∑i=1∞xipi,有E(X)=0⋅(1-p)+1⋅p=p.习题2袋中有n张卡片，记有号码1,2,…,n.现从中有放回抽出k张卡片来，求号码之和X的期望.分析：.解答：设Xi表示第i次取得的号码，则X=∑i=1kXi,且P{Xi=m}=1n,其中m=1,2,⋯,n,i=1,2,⋯,k,故E(Xi)=1n(1+2+⋯+n)=n+12,i=1,2,⋯,k,从而E(X)=∑i=1kE(Xi)=k(n+1)2.习题3某产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次.每次随机地抽取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备.以X表示一天中调整设备的次数，试求E(X)(设诸产品是否为次品是相互独立的).解答：X的可能取值为0,1,2,3,4,且知X∼b(4,p),其中p=P{调整设备}=1-C101×0.1×0.99-0.910≈0.2639,所以E(X)=4×p=4×0.2639=1.0556.习题4据统计，一位60岁的健康(一般体检未发生病症)者，在5年之内仍然活着和自杀死亡的概率为p(0p1,p为已知),在5年之内非自杀死亡的概率为1-p,保险公司开办5年人寿保险，条件是参加者需交纳人寿保险费a元(a已知),若5年内非自杀死亡，公司赔偿b元(ba),应如何确定b才能使公司可期望获益，若有m人参加保险，公司可期望从中收益多少？解答：令X=“从一个参保人身上所得的收益”，由X的概率分布为Xaa-bpkp1-p∴E(X)=ap+(a-b)(1-p)=a-b(1-p)0,即aba1-p.对于m个人，有E(mX)=mE(X)=ma-mb(1-p).习题5对任意随机变量X,若E(X)存在，则E{E[E(X)]}等于¯.解答：由数学期望的性质1及E(X)为一常数知E{E[E(X)]}=E[E(X)]=E(X).习题6设随机变量X的分布律为X-202pi0.40.30.3求E(X),E(X2),E(3X2+5).解答：E(X)=-2×0.4+2×0.3=-0.2,E(X2)=(-2)2×0.4+22×0.3=2.8,E(3X2+5)=[3×(-2)2+5]×0.4+(3×02+5)×0.3+(3×22+5)×0.3=13.4.习题7设连续型随机变量X的概率密度为f(x)={kxa,0x10,其它,其中k,a0,又已知E(X)=0.75,求k,a的值.解答：\because∫-∞+∞f(x)dx=1,∫-∞+∞xf(x)dx=0.75,∴∫01kxadx=1,∫01x⋅kxadx=0.75,即ka+1xa+1∣01=1,ka+2xa+2∣01=0.75,即{ka+1=1ka+2=0.75,∴k=3,a=2.习题8设随机变量X的概率密度为f(x)={1-∣1-x∣,0x20,其它,求E(X).解答：f(x)={x,0x12-x,1≤x20,其它,E(X)=∫01x⋅xdx+∫12x(2-x)dx=∫01x2dx+∫12(2x-x2)dx=13+23=1.习题9一年之内一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布，概率密度为f(x)={14e-x4,x00,x≤0,工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换.若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.解答：先求出利润函数L(X).L(X)={100,X≥1-300+100=-200,X1,E(L)=100×P{X≥1}-200×P{X1}=100×∫1+∞14e-x4dx-200×∫0114e-x4dx=100×e-14+200×e-14-200≈33.64(元).习题10设随机变量X的概率密度为f(x)={e-x,x00,x≤0,求：(1)Y=2X的数学期望；(2)Y=e-2X的数学期望.解答：(1)E(Y)=E(2X)=∫-∞+∞2xf(x)dx=∫0+∞2xe-xdx=2.(2)E(e2X)=∫-∞+∞e-2xf(x)dx=∫0+∞e-3xdx=13.习题11设(X,Y)的分布律为Y\X123-1010.20.10.00.10.00.30.10.10.1(1)求E(X),E(Y);(2)设Z=Y/X,求E(Z);(3)设Z=(X-Y)2,求E(Z).解答：(1)先求X与Y的边缘分布律，然后求E(X),E(Y).X123pk0.40.20.4Y-101pk0.30.40.3所以E(X)=1×0.4+2×0.2+3×0.4=2.0,E(Y)=-1×0.3+0×0.4+1×0.3=0.(2)可以利用X,Y的联合分布先求出Z的分布律，然后求E(Z),也可以利用定理直接求E(Z),下面采取直接求法.E(Z)=E(YX)=∑i∑jyjxipij=(-1×0.2+1×0.1)+(-12×0.1+12×0.1)+(-13×0+13×0.1)=-115.(3)E(Z)=E[(X-Y)2]=∑i∑j(xi-yj)2pij=(1-(-1))2×0.2+(1-0)2×0.1+(1-1)2×0.1+32×0.1+22×0.0+12×0.1+42×0.0+32×0.3+22×0.1=5.也可以利用期望的性质求E(Z),得E[(X-Y)2]=E(X2-2XY+Y2)=E(X2)-2E(XY)+E(Y2)=(12×0.4+22×0.2+32×0.4)-2[-1×0.2+1×0.1+(-2)×0.1+2×0.1+(-3)×0.0+3×0.1]+(-1)2×0.3+12×0.3=5.习题12设(X,Y)的概率密度为f(x,y)={12y2,0≤y≤x≤10,其它,求E(X),E(Y),E(XY),E(X2+Y2).解答：如右图所示.E(X)=∫-∞+∞∫-∞+∞xf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xx⋅12y2dy=45,E(Y)=∫-∞+∞∫-∞+∞yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xy⋅12y2dy=35,E(XY)=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xxy⋅12y2dy=12,E(X2+Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞(x2+y2)f(x,y)dxdy=∫01dx∫0x(x2+y2)⋅12y2dy=23+615=1615.习题13设X和Y相互独立，概率密度分别为ϕ1(x)={2x,0≤x≤10,其它,ϕ2(y)={e-(y-5),y50,其它,求E(XY).解答：解法一由独立性.E(XY)=E(X)⋅E(Y)=∫01x⋅2xdx∫0+∞ye-(y-5)dy=23×6=4.解法二令z=y-5,则E(XY)=E(X)⋅E(Y)=∫01x⋅2xdx⋅E(z+5)=23×(1+5)=4.4.2方差习题1设随机变量X服从泊松分布，且P(X=1)=P(X=2),求E(X),D(X).解答：由题设知，X的分布律为P{X=k}=λkk!e-λ(λ0)由P{X=1}=P{X=2},得λ11!e-λ=λ22!e-λ，即λ=0(舍去),λ=2.所以E(X)=2,D(X)=2.习题2下列命题中错误的是().(A)若X∼p(λ),则E(X)=D(X)=λ;(B)若X服从参数为λ的指数分布，则E(X)=D(X)=1λ;(C)若X∼b(1,θ),则E(X)=θ,D(X)=θ(1-θ);(D)若X服从区间[a,b]上的均匀分布，则E(X2)=a2+ab+b23.解答：应选(B).E(X)=1λ,D(X)=1λ2.习题3设X1,X2,⋯,Xn是相互独立的随机变量，且都服从正态分布N(μ,σ2)(σ0),则ξ¯=1n∑i=1nξi服从的分布是¯.解答：由多维随机变量函数的分布知：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且E(X¯)=μ,D(X¯)=σ2n.习题4若Xi∼N(μi,σi2)(i=1,2,⋯,n),且X1,X2,⋯,Xn相互独立，则Y=∑i=1n(aiXi+bi)服从的分布是.解答：应填N(∑i=1n(aiμi+bi),∑i=1nai2σi2).由多维随机变量函数的分布知：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且E(Y)=∑i=1n(aiμi+bi),D(Y)=∑i=1nai2σi2.习题5设随机变量X服从泊松分布，且3P{X=1}+2P{X=2}=4P{X=0},求X的期望与方差.解答：X的分布律为P{X=k}=λkk!e-λ,k=0,1,2,⋯,于是由已知条件得3×λ11!e-λ+2×λ22!e-λ=4×λ00!e-λ,即λ2+3λ-4=0,解之得λ=-4(舍),λ=1,故E(X)=λ=1,D(X)=λ=1.习题6设甲，乙两家灯泡厂生产的寿命(单位：小时)X和Y的分布律分别为X90010001100pi0.10.80.1Y95010001050pi0.30.40.3试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？解答：哪家工厂的灯泡寿命期望值大，哪家的灯泡质量就好.由期望的定义有E(X)=900×0.1+1000×0.8+1100×0.1=1000,E(Y)=950×0.3+1000×0.4+1050×0.3=1000.今两厂灯泡的期望值相等：E(X)=E(Y)=1000,即甲，乙两厂的生产水平相当.这就需要进一步考察哪家工厂灯泡的质量比较稳定，即看哪家工厂的灯泡寿命取值更集中一些，这就需要比较其方差.方差小的，寿命值较稳定，灯泡质量较好，则方差的定义式得D(X)=(900-1000)2×0.1+(1000-1000)2×0.8+(1100-1000)2×0.1=2200,D(Y)=(950-1000)2×0.3+(1000-1000)2×0.4+(1050-1000)2×0.3=1500.因D(X)D(Y),故乙厂生产的灯泡质量较甲厂稳定.习题7已知X∼b(n,p),且E(X)=3,D(X)=2,试求X的全部可能取值，并计算P{X≤8}.解答：\becauseE(X)=np,D(X)=np(1-p),∴{np=3np(1-p)=2,即{n=9p=13,∴X的取值为：0,1,2,⋯,9,P{X≤8}=1-P{X=9}=1-(13)9.习题8设X∼N(1,2),Y服从参数为3的(泊松)分布，且X与Y独立，求D(XY).解答：\becauseD(XY)=E(XY)2-E2(XY)=E(X2Y2)-E2(X)2(Y),又\becauseE(X2Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞x2y2f(x,y)dxdy=∫-∞+∞x2fX(x)dx∫-∞+∞y2fY(y)dy=E(X2)E(Y2),∴D(XY)=E(X2)E(Y2)-E2(X)E2(Y)=[D(X)+E2(X)][D(Y)+E2(Y)]-E2(X)E2(Y)=D(X)D(Y)+D(X)E2(Y)+D(Y)E2(X)=2×3+2×32+3×12=27.习题9设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且有E(Xi)=i,D(Xi)=5-i,i=1,2,3,4,又设Y=2X1-X2+3X3-12X4,求E(Y),D(Y).解答：E(Y)=E(2X1-X2+3X3-12X4)=2E(X1)-E(X2)+3E(X3)-12E(X4)=2×1-2+3×3-12×4=7,D(Y)=4D(X1)+D(X2)+9D(X3)+14D(X4)=4×4+3+9×2+14×1=37.25.习题105家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量(以kg计)分别为X1,X2,X3,X4,X5.已知X1∼N(200,225),X2∼N(240,240),X3∼N(180,225),X4∼N(260,265),X5∼N(320,270),X1,X2,X3,X4,X5相互独立.(1)求5家商店两周的总销售量的均值和方差；(2)商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存该产品多少千克？解答：(1)设总销售量为X,由题设条件知X=X1+X2+X3+X4+X5,于