概率论与数理统计(经管类)第二章课后习题答案

1OF18习题2.11.设随机变量X的分布律为P{X=k}=aN,k=1,2,N,求常数a.解:由分布律的性质∑pk∞k=1=1得P(X=1)+P(X=2)+…..+P(X=N)=1N*aN=1,即a=12.设随机变量X只能取-1,0,1,2这4个值,且取这4个值相应的概率依次为12c,34c,58c,716c,求常数c.解:12c+34c+58c+716c=1C=37163.将一枚骰子连掷两次,以X表示两次所得的点数之和,以Y表示两次出现的最小点数,分别求X,Y的分布律.注:可知X为从2到12的所有整数值．可以知道每次投完都会出现一种组合情况，其概率皆为(1/6)*(1/6)=1/36，故P(X=2)=(1/6)*(1/6)=1/36(第一次和第二次都是1)P(X=3)=2*(1/36）＝1/18(两种组合(1,2)(2,1))P(X=4)=3*(1/36）＝1/12(三种组合(1,3)(3,1)(2,2))P(X=5)=4*(1/36）＝1/9(四种组合(1,4)(4,1)(2,3)(3,2))P(X=6)=5*(1/36＝5/36(五种组合(1,5)(5,1)(2,4)(4,2)(3,3))P(X=7)=6*(1/36)＝1/6(这里就不写了,应该明白吧)P(X=8)=5*(1/36)＝5/36P(X=9)=4*(1/36)＝1/9P(X=10)=3*(1/36)＝1/12P(X=11)=2*(1/36)＝1/18P(X=12)=1*(1/36)＝1/36以上是X的分布律投两次最小的点数可以是1到6里任意一个整数,即Y的取值了.P(Y=1)=(1/6)*1=1/6一个要是1,另一个可以是任何值P(Y=2)=(1/6)*(5/6)=5/36一个是2,另一个是大于等于2的5个值P(Y=3)=(1/6)*(4/6)=1/9一个是3,另一个是大于等于3的4个值P(Y=4)=(1/6)*(3/6)=1/12一个是4,另一个是大于等于4的3个值P(Y=5)=(1/6)*(2/6)=1/18一个是5,另一个是大于等于5的2个值P(Y=6)=(1/6)*(1/6)=1/36一个是6,另一个只能是6以上是Y的分布律了.2OF184.设在15个同类型的零件中有2个是次品,从中任取3次,每次取一个,取后不放回.以X表示取出的次品的个数,求X的分布律.解:X=0,1,2X=0时,P=C133C153=2235X=1时,P=C132∗C21C153=1235X=2时,P=C130∗C22C153=1355.抛掷一枚质地不均匀的硬币,每次出现正面的概率为23,连续抛掷8次,以X表示出现正面的次数,求X的分布律.解:P{X=k}=C8k(23)k(13)8−k,k=1,2,3,86.设离散型随机变量X的分布律为X-123P141214求P{X≤12},P{23X≤52},P{2≤X≤3},P{2≤X3}解:P{X≤12}=14P{23X≤52}=12P{2≤X≤3}=12+14=34P{2≤X3}=127.设事件A在每一次试验中发生的概率分别为0.3.当A发生不少于3次时,指示灯发出信号,求:(1)进行5次独立试验,求指示灯发出信号的概率;(2)进行7次独立试验,求指示灯发出信号的概率.解:设X为事件A发生的次数,(1)P{X≥3}=P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=C53(0.3)3(0.7)2+C54(0.3)4(0.7)1+C55(0.3)5(0.7)0=0.1323+0.02835+0.00243=0.1633OF18(2)P{X≥3}=1−P{X=0}−P{X=1}−P{X=2}=1−C70(0.3)0(0.7)7−C71(0.3)1(0.7)6−C72(0.3)2(0.7)5=1−0.0824−0.2471−0.3177=0.3538.甲乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7.现各投3次,求两人投中次数相等的概率.解:设X表示各自投中的次数P{X=0}=C30(0.6)0(0.4)3∗C30(0.7)0(0.3)3=0.064∗0.027=0.002P{X=1}=C31(0.6)1(0.4)2∗C31(0.7)1(0.3)2=0.288∗0.189=0.054P{X=2}=C32(0.6)2(0.4)1∗C32(0.7)2(0.3)1=0.432∗0.441=0.191P{X=3}=C33(0.6)3(0.4)0∗C33(0.7)3(0.3)0=0.216∗0.343=0.074投中次数相等的概率=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=0.3219.有一繁忙的汽车站,每天有大量的汽车经过,设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001.在某天的该段时间内有1000辆汽车经过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?(利用泊松分布定理计算)解:设X表示该段时间出事故的次数,则X~B(1000,0.0001),用泊松定理近似计算λ=1000*0.0001=0.1P{X≥2}=1−P{X=0}−P{X=1}=1−C10000(0.0001)0(0.9999)1000−C10001(0.0001)1(0.9999)999=1−e−0.1−0.1e−0.1=1−0.9048−0.0905=0.004710.一电话交换台每分钟收到的呼唤次数服从参数为4的泊松分别,求:(1)每分钟恰有8次呼唤的概率;(2)每分钟的呼唤次数大于10的概率.解:(1)P{X=8}=P{X≥8}−P{X≥9}=0.051134−0.021363=0.029771(2)P{X10}=P{X≥11}=0.002840习题2.21.求0-1分布的分布函数.解:F(x)={0,x0q,0≤x11,x≥12.设离散型随机变量X的分布律为:X-123P0.250.50.25求X的分布函数,以及概率P{1.5𝑋≤2.5},P{X≥0.5}.解:當x−1時,F(x)=P{X≤x}=0;當−1≤x2時,F(x)=P{X≤x}=P{X=−1}=0.25;當2≤x3時,F(x)=P{X≤x}=P{X=−1}+P{X=2}=0.25+0.5=0.75;當x≥3時,F(x)=P{X≤x}=P{X=−1}+P{X=2}+P{X=3}=0.25+0.5+0.25=1;4OF18则X的分布函数F(x)为:F(x)={0,𝑥−10.25,−1≤x20.75,2≤x31,x≥3P{1.5𝑋≤2.5}=F(2.5)−F(1.5)=0.75−0.25=0.5P{X≥0.5}=1−F(0.5)=1−0.25=0.753.设F1(x),F2(x)分别为随机变量X1和X2的分布函数,且F(x)=aF1(x)-bF2(x)也是某一随机变量的分布函数,证明a-b=1.证:F(+∞)=aF(+∞)−bF(+∞)=1,即a−b=14.如下4个函数,哪个是随机变量的分布函数:(1)F1(x)={0,𝑥−212,−2≤x02,x≥0(2)F2(x)={0,𝑥0sinx,0≤xπ1,x≥π(3)F3(x)={0,𝑥0sinx,0≤xπ21,x≥π2(4)F4(x)={0,𝑥0x+13,0𝑥121,x≥125.设随机变量X的分布函数为F(x)=a+barctanx,−∞𝑥+∞,求(1)常数a,b;(2)P{−1𝑋≤1}解:(1)由分布函数的基本性质F(−∞)=0,F(+∞)=1得:{a+b∗(−π2)=0a+b∗(π2)=1解之a=12,b=1π(2)P{−1𝑋≤1}=F(1)−F(−1)=a+b∗π4−(a+b∗−π4)=b∗π2=12(将x=1带入F(x)=a+barctanx)注:arctan为反正切函数,值域(−π2,π2),arctan1=π45OF186.设随机变量X的分布函数为F(x)={0,𝑥1lnx,1≤x𝑒1,x≥e求P{X≤2},P{0𝑋≤3},P{2𝑋≤2.5}解:P{X≤2}=F(2)=ln2注:F(x)=P{X≤x}P{0𝑋≤3}=F(3)−F(0)=1−0=1;P{2𝑋≤2.5}=F(2.5)−F(2)=ln2.5−ln2=ln𝟐.𝟓𝟐=ln1.25习题2.31.设随机变量X的概率密度为:f(x)={acosx,|x|≤π20,其他.求:(1)常数a;(2)P{0𝑋π4};(3)X的分布函数F(x).解:(1)由概率密度的性质∫f(x)dx=1,+∞−∞∫acosxdx=asinx|π2−π2π2−π2=asinπ2−asin(−π2)=asinπ2+asinπ2=a+a=1A=12(2)P{0𝑋π4}=(12)sin(π4)−(12)sin(0)=12∗√22+12∗0=√24一些常用特殊角的三角函数值正弦余弦正切余切0010不存在π/61/2√3/2√3/3√3π/4√2/2√2/211π/3√3/21/2√3√3/3π/210不存在0π0-10不存在6OF18(3)X的概率分布为:F(x)={0,x−π212(1+sinx),−π2≤xπ21,x≥π22.设随机变量X的概率密度为f(x)=ae−|x|,−∞𝑥+∞,求:(1)常数a;(2)P{0≤X≤1};(3)X的分布函数.解:(1)∫f(x)dx=∫aexdx0−∞+∞−∞+∫ae−xdx=a+a=1+∞0,即a=12(2)P{0≤X≤1}=F(1)−F(0)=12(1−e−1)(3)X的分布函数F(x)={12ex,x≤01−12e−x,x03.求下列分布函数所对应的概率密度:(1)F1(x)=12+1πarctanx,−∞𝑥+∞;解:f1(x)=1π(1+x2)(柯西分布)(2)F2(x)={1−e−x22,x00,x≤0解:f2(x)={xe−x22,x00,x≤0(指数分布)(3)F3(x)={0,x0sinx,0≤x≤π21,xπ2解:f3(x)={cosx,0≤x≤π20,其他(均匀分布)7OF184.设随机变量X的概率密度为f(x)={x,0≤x12−x,1≤x20,其他.求:(1)P{X≥12};(2)P{12𝑋32}.解:(1)P{X≥12}=1−F(12)=1−1222=1−18=78(2)(2)P{12𝑋32}=F(32)−F(12)=(2∗32−1−3222)−(3222)=348OF185.设K在(0,5)上服从均匀分布,求方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率.(利用二次式的判别式)解:K~U(0,5)f(K)={15,0≤x≤50,其他方程式有实数根,则Δ≥0,即(4K)2−4∗4∗(K+2)=16K2−16(K+2)≥02≤K≤−1故方程有实根的概率为:P{K≤−1}+P{K≥2}=∫15dx=0.6526.设X~U(2,5),现在对X进行3次独立观测,求至少有两次观测值大于3的概率.解:P{K3}=1−F(3)=1−3−25−2=23至少有两次观测值大于3的概率为:C32(23)2(13)1+C33(23)3(13)0=20277.设修理某机器所用的时间X服从参数为λ=0.5(小时)指数分布,求在机器出现故障时,在一小时内可以修好的概率.解:P{X≤1}=F(1)=1−e−0.58.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从参数为λ=15的指数分布,某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟,他就离开.他一个月要到银行5次,以Y表示他未等到服务而离开窗口的次数.写出Y的分布律,并求P{Y≥1}.解:“未等到服务而离开的概率”为P{X≥10}=1−F(10)=1−(1−e−15∗10)=e−2P{Y=𝑘}=C5k(e−2)k(1−e−2)5−k,(k=0,1,2,3,4,5)Y的分布律:Y012345P0.4840.3780.1180.0180.0010.00004P{Y≥1}=1−P{Y=0}=1−0.484=0.5169OF189.设X~N(3,22),求:(1)P{2𝑋≤5},P{−4