概率论与数理统计习题及答案第六章

习题6-11.若总体(2,9)XN,从总体X中抽出样本X1,X2,问3X1-2X2服从什么分布?解3X1-2X2～N(2,117).2.设X1,X2,…,Xn是取自参数为p的两点分布的总体X的样本,问X1,X2,…,Xn的联合分布是什么?解因为总体X的分布律为P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1,…,所以样本X1,X2,…,Xn的联合分布为11221111111{,}(1)(1)(1)(1).nnnniiiixxxxxxnnXnXPXxXxpppppppp…,=…习题6-21.选择题(1)下面关于统计量的说法不正确的是().(A)统计量与总体同分布.(B)统计量是随机变量.(C)统计量是样本的函数.(D)统计量不含未知参数.解选(A).(2)已知X1,X2,…,Xn是来自总体2(,)XN的样本,则下列关系中正确的是().(A)().EXn(B)2().DX(C)22().ES(D)22().EB解选(C).(3)设随机变量X与Y都服从标准正态分布,则().(A)X+Y服从正态分布.(B)X2+Y2服从2分布.(C)X2和Y2都服从2分布.(D)22XY服从F分布.解因为随机变量X与Y都服从标准正态分布,但X与Y不一定相互独立,所以(A),(B),(D)都不对,故选(C).2.设X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本,总体X的均值μ已知,方差σ2未知.在样本函数1niiX,1niiX,1niiXS,nμ(21X+22X+…+2nX)中,哪些不是统计量?解1niiX不是统计量.3.设总体X服从正态分布21(,)N,总体Y服从正态分布22(,)N,112,,,nXXX和212,,,nYYY分别是来自总体X和Y的简单随机样本,求12221112()()2.nnijijXXYYEnn解因为122111[()]1niiEXXn,222121[()]1njjEYYn习题6-31．填空题(1)设总体~(2,25)XN,12100,,,XXX是从该总体中抽取的容量为n的样本,则()EX;()DX;统计量~X.解因为总体~(2,25)XN,而12100,,,XXX是从该总体中抽出的简单随机样本,由正态分布的性质知,样本均值也服从正态分布,又因为1001111(()22100)niiiEEXnX,而1002111125(()251001)1004niiiDDXnX.所以1~(2,)4NX.(2)设总体X服从正态分布2(,)N,12,,,nXXX是来自X的简单随机样本,则统计量Xn服从分布;XSn服从分布;222=12(1)()niinSXX服从分布;212()niiX服从分布.解由抽样分布定理知,2~(,)XNn.再由正态分布的标准化公式,Xn服从标准正态分布.由抽样分布定理知,XSn服从自由度为n-1的t分布.由抽样分布定理知,22(1)nS服从自由度为n-1的2分布.由题设,2~(,),1,2,,iXNi所以~(0,1),1,2,.iXNi再由2分布的定义知,212()niiX服从自由度为n的2分布.(3)设12,,,nXXX,1,,nnmXX是来自正态总体2(0,)N的容量为n+m的样本,则统计量2121niinmiinmXnX服从的分布是.解因为2121niinmiinmXnX=2121niinmiinXnXm,而2212~()niiXn,2212~()nmiinXm.由F分布的定义,得到2121~(,)niinmiinmXFnmnX.2.选择题(1)设随机变量21~()(1),XtnnYX,则下列关系中正确的是().(A)2~()Yn.(B)2~(1)Yn.(C)~(,1)YFn.(D)~(1,)YFn解由题设知,UXVn,其中2~(0,1),~()UNVn,于是21YX=221UVVnnU,这里22~(1)U,根据F分布的定义知21~(,1).YFnX故应选(C).(2)设z,2(n),()tn,12(,)Fnn分别是标准正态分布N(0,1)、2(n)分布、t分布和F分布的上分位点,在下列结论中错误的是().(A)1zz.(B)2(n)=1-21(n).(C)1()()tntn.(D)121211(,)(,)FnnFnn.解应选(B).3.在总体2(52,6.3)N中随机抽取一个容量为36的样本,求样本均值X落在50.8到53.8之间的概率.解因为2~(,)XNn,所以26.3~(52,)36XN.于是,标准化随机变量52~(0,1)6.336XN.因此(50.852)6(52)6(53.852)6{50.853.8}{}6.36.36.3XPXP≤≤剟10.87.2()()0.82936.36.3.4.已知1210,,,XXX是来自正态总体2(0,)XN的样本,求概率{2.82}PXS.解由定理1知,2229(0,1),(9),XSN因此22(9)99XXtSS,所以{2.82}{2.82}1{2.82}10.010.99.XXPXSPPSS