概率论与数理统计总复习题

《概率论与数理统计》总复习第一章随机事件及其概率1.古典概型；2.概率的（古典）定义；3.事件的加法、减法、乘法；4.全概率公式与贝叶斯公式；5.伯努利概型。第二章随机变量及其分布1.随机变量分布函数()Fx；2.离散型随机变量的分布律；3.连续型随机变量的概率密度函数()fx；4.常用分布；5.随机变量函数的分布。第三章多维随机变量及其分布1.二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律；2.二维连续型随机变量的概率密度函数(,)fxy与分布函数(,)Fxy及性质；3.随机变量的独立性；4.连续型随机变量的卷积公式；5.多维随机变量和的分布及最大值与最小值分布。第四章随机变量的数字特征1.数学期望和方差的概念、性质及计算；2.协方差及相关系数的计算；3.切比雪夫不等式。第五章大数定律与中心极限定理1.大数定律的内容及其理论价值；2.中心极限定理实质及其运用。第六章数理统计的基本思想1.总体、样本、统计量及抽样分布的概念；2.数理统计的三大分布及三大分布的临界值的计算；3.正态总体的抽样分布定理。1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.【解】353524353,4,51(3)0.1C3(4)0.3CC(5)0.6CXPXPXPX故所求分布律为X345P0.10.30.62.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，则有()0.01PXN即2002002001C(0.02)(0.98)0.01kkkkN利用泊松近似2000.024.np41e4()0.01!kkNPXNk查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.3.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1）求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.【解】（1）32(0)ePX(2)52(1)1(0)1ePXPX4.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,20000.0012np得25e2(5)0.00185!PX5.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06XPXP1(2)(2)2[1(2)]0.04566.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，σ2），若要求P{120＜X≤200＝≥0.8，允许σ最大不超过多少？【解】120160160200160(120200)XPXP404040210.8故4031.251.297.设随机变量X分布函数为F（x）=e,0,(0),00.xtABx,x（1）求常数A，B；（2）求P{X≤2}，P{X＞3}；（3）求分布密度f（x）.【解】（1）由00lim()1lim()lim()xxxFxFxFx得11AB（2）2(2)(2)1ePXF33(3)1(3)1(1e)ePXF(3)e,0()()0,0xxfxFxx8.求标准正态分布的上分位点，（1）=0.01，求z;（2）=0.003，求z，/2z.【解】（1）()0.01PXz即1()0.01z即()0.09z故2.33z（2）由()0.003PXz得1()0.003z即()0.997z查表得2.75z由/2()0.0015PXz得/21()0.0015z即/2()0.9985z查表得/22.96z9.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：Y=1e2X在区间（0，1）上服从均匀分布.【证】X的密度函数为22e,0()0,0xXxfxx由于P（X0）=1，故01e2X1，即P（0Y1）=1当y≤0时，FY（y）=0当y≥1时，FY（y）=1当0y1时，2()()(e1)xYFyPYyPy1ln(1)2201(ln(1))22edyxPXyxy即Y的密度函数为1,01()0,Yyfy其他即Y~U（0，1）10.设随机变量X的密度函数为f(x)=.,0,63,92,10,31其他xx若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范围.(2000研考)【解】由P（X≥k）=23知P（Xk）=13若k0,P(Xk)=0若0≤k≤1,P(Xk)=011d333kkx当k=1时P（Xk）=13若1≤k≤3时P（Xk）=10111d0d33kxx若3k≤6，则P（Xk）=10312211dd39933kxxk若k6,则P（Xk）=1故只有当1≤k≤3时满足P（X≥k）=23.11.设随机变量X的分布函数为F(x)=.3,1,31,8.0,11,4.0,1,0xxxx求X的概率分布.【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可知X的概率分布为X113P0.40.40.212.若随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？【解】1,16()50,xfx其他24(40)(2)(2)(2)5PXPXPXPX13.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.【解】设X为考生的外语成绩，则X~N（72，σ2）729672240.023(96)1()XPXP故24()0.977查表知242,即σ=12从而X~N（72，122）故6072728472(6084)121212XPXP(1)(1)2(1)10.68214.设随机变量X的密度函数为fX(x)=.0,0,0,xxxe求随机变量Y=eX的密度函数fY(y).(1995研考)【解】P（Y≥1）=1当y≤1时，()()0YFyPYy当y1时，()()(e)(ln)XYFyPYyPyPXyln01ed1yxxy即11,1()0,1YyyFyy故21,1()0,1Yyyfyy15.设随机变量X~N（0，σ2），问：当σ取何值时，X落入区间（1，3）的概率最大？【解】因为213~(0,),(13)()XXNPXP31()()()g令利用微积分中求极值的方法，有223311()()()()g22229/21/2221/28/223111ee221e[13e]02令得204ln3,则02ln3又0()0g故02ln3为极大值点且惟一。故当2ln3时X落入区间（1，3）的概率最大。16.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=.,0,42,20),6(其他yxyxk（1）确定常数k；（2）求P{X＜1，Y＜3}；（3）求P{X1.5}；（4）求P{X+Y≤4}.【解】（1）由性质有2402(,)dd(6)dd81,fxyxykxyyxk故18R（2）13{1,3}(,)ddPXYfxyyx130213(6)dd88kxyyx(3)11.5{1.5}(,)dda(,)ddxDPXfxyxyfxyxy如图1.5402127d(6)d.832xxyy(4)24{4}(,)dd(,)ddXYDPXYfxyxyfxyxy如图b240212d(6)d.83xxxyy题5图17.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=.,0,1,22其他yxycx（1）试确定常数c；（2）求边缘概率密度.【解】（1）