概率论与数理统计总结之第二章

第二章随机变量及其分布随机变量：设随机试验的样本空间为S={e}，X=X{e}是定义在样本空间S上的实值单值函数，称X=X{e}为随机变量一般以大写字母X,Y,Z,W,…表示随机变量，而以小写字母x,y,z,……表示实数离散型随机变量：全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个的随机变量？怎么判断可列无限多个呢？离散型随机变量的分布律：1)等式形式表示为,2,1,kpxXPkk…2)表格形式表示：X1x2x…nx…ip1p2p…np…三种重要的离散型随机变量：1.（0-1）分布设随机变量X只能取0与1两个值，它的分布律是)10(1,0,)1(1pkppkXPkk则称X服从（0-1）分布或两点分布其分布律也可写成：X01ip1-pp2.伯努利试验、二项分布伯努利试验：设试验E只有两个可能结果：A及A，则称E为伯努利试验，设P(A)=p(0p1),此时P(A)=1-p。将E独立地重复进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X是一个随机变量，且满足nkqpCkXPknkkn,^,2,1,0,)(，称随机变量X服从参数为n,p的二项分布，记为X～b(n,p)3.泊松分布设随机变量X所以可能取的值为0,1,2，…，而取各个值的概率为!}{kekXPk，k=0,1,2,……其中λ0是常数，则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X～π（λ）非离散型随机变量:其可能取值不能一个一个地列举出来非离散型随机变量取任一指定的实数值的概率都等于0分布函数：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)=P{X≤x}称为X的分布函数对于任意实数1x,2x(1x2x),有)()(}{}{}{121221xFxFxXPxXPxXxP分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。·分布函数的基本性质：1.F(x)是一个不减函数2.0≤F(x)≤1且1)(lim)(,0)(lim)(xFFxFFxx3.F(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的。一般，设离散型随机变量X的分布律为,2,1,}{kpxXPkk……分布函数为},{}{)(xxkkxXPxXPxF即xxkkpxF)(分布函数F（x)在kxx（k=1,2,……）处有跳跃，其跳跃值为}{kkxXPp连续型随机变量：如果对于随机变量X的分布函数F（x)，存在非负函数f(x)，使对于任意实数x有xdttfxF)()(，则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度连续型随机变量的分布函数是连续函数·概率密度的性质：1.f(x)≥02.1)(dxxf3.对于任意实数),(,,2121xxxx21)()()(}{1221xxdxxfxFxFxXxP4.若f(x)在点x处连续，则有F'(x)=f(x)在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半闭区间。三种重要的连续型随机变量：1.均匀分布设连续型随机变量X具有概率密度,,1bxaab0，其它，则称X在区间（a,b)上服从均匀分布，记为X～U(a,b).该随机变量X落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内的可能性是相同的，或者说它落在（a,b)的子区间内的概率只依赖与子区间的长度而与子区间的位置无关。X的分布函数为0，xa,bxaabax,,1,x≥b2.指数分布设连续型随机变量X的概率密度为,0,1xex,0其它，其中θ0为常数，则称X服从参数为θ的指数分布X的分布函数为,0,1xex0，其它·服从指数分布的随机变量X具有以下性质：（无记忆性）对于任意s,t0,有tsXP{｜}{}tXPsX证明：tsXP{｜}{}{}{)}(){(}sXPtsXPsXPsXtsXPsX}{}{1)(1)(1)(1///)(tXPtXPtFeeesFtsFtsts3.正态分布设连续型随机变量X的概率密度为,,21)(222)(xexfx其中μ,σ（σ0)为常数，则称X服从参数μ,σ的正态分布或高斯分布，记为X～N),(2f(x)=F(x)=f(x)=F(x))=·f(x)具有以下性质：1）曲线关于x=μ对称，对于任意h0有}{}{hXPXhP2）当x=μ时取到最大值21)(fX离μ越远，f(x)的值越小，这表明对于同样长度的区间，当区间离μ越远，X落在这个区间上的概率越小·f(x)的形状特性：固定σ，改变μ的值，则图形沿着Ox轴平移，而不改变其形状，可见正态分布函数的概率密度曲线y=f(x)的位置完全由参数μ所确定，称μ为位置参数;固定μ，改变σ的值，由于最大值21)(f,可知当σ越小图形变得越尖，因而X落在μ附近概率越大;其分布函数为：xtexF222)(21)(当μ=0，σ=1时称X服从标准正态分布，其概率密度和分布函数分别用)(x，)(x表示，即有)(x=2/221te，)(x=xte2/221易知)(1)(xx引理：若X～N(μ,2),则XZ～N(0，1)由已知的随机变量X的概率分布求它的函数Y=g(X)(g(·)是已知的连续函数）的概率分布：设随机变量X具有概率密度,),(xxfX又设函数g(x)处处可导且恒有g'(x)0（或恒有g'(x)0)，则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为,,)()](['yyhyhfX0，其它，其中α=min(g(-∞),g(∞)),β=max(g(-∞),g(∞)),h(y)是g(x)的反函数)(yfY