概率论与数理统计期中试卷(1-4章)附答案及详解

第1页共8页天津工业大学（2010—2011学年第一学期）《》期中试卷(第1-4章2010,10理学院)特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息，若写在其它处视为作弊。本试卷共有6页，共八道大题，请核对后做答，若有疑问请与监考教师联系。满分30分10分10分12分12分10分题号一二三四五六得分评阅人一.填空题（每空2分，共30分）1.设随机事件A,B互不相容，且3.0)(AP，6.0)(BP，则)(ABP4/7.2.设A,B是随机事件，且知概率7.0)(AP，2.0)(BP，8.0)(BAP，则)(BAP0.9，)(BAAP7/9.3.10件产品中有8件正品、2件次品，从中任意抽取2件，抽到的次品数为X，则X的分布律和分布函数分别为)(xF2,121,45/4410,45/280,0xxxx4.设随机变量X的概率密度其它,02||,cos)(xxaxfX，则)656(XP=3/4，满分10分6分总分核分人复查人题号七八得分评阅人X012kp28/4516/451/45-----------------------密封线----------------------------------------密封线---------------------------------------密封线------------------------------------学院专业班级学号姓名----------------------装订线----------------------------------------装订线----------------------------------------装订线---------------------------------------------第2页共8页23XY的概率密度为elseyyyfY,02,32cos61)(.5．设随机变量1X,2X,3X相互独立，1X在)5,1(服从均匀分布，)2,0(~22NX，)2(~3ExpX（指数分布），记32132XXXY，则)(YE＝8，)(YD=55.6.设二维正态分布的随机变量)0,3,4,2,1(),(22N~YX，且知8413.0)1(Φ，则)4(YXP0.1587.7.已知随机变量X的概率密度201()0abxxfx其他,且41)(XE，则a2，b－3，)(XD1/240.8.设4.0,36)(,25)(XYYDXD，则)(YXD85，)(YXD37.二.（10分）某车间有甲乙两台机床加工同一种零件，甲机床加工的零件数量比乙机床多一倍，甲乙机床加工零件的废品率分别为0.03，0.02.两机床加工出的零件放在一起.试求（1）任取一个零件是合格品的概率；（2）任取一个零件经检验是废品，试求它是由乙机床生产的概率.解：设“从放在一起的零件中任取一件发现是甲/乙机床加工的”分别记为事件,A.A再记“从放在一起的零件中任取一件发现是废品”为事件.B由已知得.02.0)(,03.0)(;31)(,32)(ABPABPAPAP……3’（1）由全概率公式知027.075202.03103.032)()()()()(ABPAPABPAPBP.……3’故任取一个零件是合格品的概率73()1()0.973.75PBPB……1’（2）由贝叶斯公式知.4102.03103.03202.031)()()()()()()(ABPAPABPAPABPAPBAP……3’第3页共8页三.（10分）设某型号的电子元件的寿命X（单位:小时）的分布密度为其它,01000,1000)(2xxxf各元件在使用中损坏与否相互独立，现在从一大批这种元件中任取5只，求其中至少有一只元件的寿命大于1500小时的概率。解：一只元件的寿命大于1500小时的概率2100010002(1500)()3PXfxdxdxx……4’设任取的5只元件中寿命大于1500小时的元件个数为Y，则).32,5(~bY……2’则.243242)321(1)0(1)1(5YPYP……4’四.（12分）设二维离散型随机向量(,)XY的分布律为XY123)(jyYP11/241/81/121/421/83/81/43/4)(ixXP1/61/21/31若X和Y相互独立，（1）填写上表空白部分；（2）求max{,}UXY的分布律；（3）求)(YXP，（4）求)(XE.解：（2）24114112181)2,3()1,3()1,2()()3(YXPYXPYXPYXP（4）613313212611)(XE.……每一小题占3分U123kp1/245/81/3-----------------------密封线----------------------------------------密封线---------------------------------------密封线------------------------------------学院专业班级学号姓名----------------------装订线----------------------------------------装订线----------------------------------------装订线---------------------------------------------第4页共8页五.（12分）设(,)XY的概率密度函数为其它，02,10当,4),(xyxxyxf，求（1）)(xfX；（2）)(xyfXY；（3）)21(XyfXY；（4）)218381(XYP.解：（1）242,01()(,)0,xxXdxxxfxfxydyelse.……3’（2）当10x时，elsexyxxxxfyxfxyfXXY,02,224)(),()(.……3’（3）上式中令21x，则elseyXyfXY,02141,4)21(.……3’（4）3388118413111()()488222YXPYXfyXdydy.……3’0xyy=xy=x/21/81/43/81/2x第5页共8页六.（10分）已知),(YX的联合概率密度其它，010,10当,),(yxyxyxf，求（1）)(2XYP；（2）ZXY的概率密度函数.解：（1）2013)221()(),()(1043110222dxxxxdyyxdxdxdyyxfXYPxxy……4’（2）ZXY的概率密度函数)(zfZdxxzxf),(.……1’zxzxxzxxzxf11010100),(，如图……1’……1’elsezzzdxxzxzzdxxzxzfzzZ,021),2()]([10,)]([)(1102……3’-----------------------密封线----------------------------------------密封线---------------------------------------密封线------------------------------------学院专业班级学号姓名----------------------装订线----------------------------------------装订线----------------------------------------装订线---------------------------------------------10xyy=x^2110zxx=zx=z－121第6页共8页七.（10分）某单位发行彩票100000张，每张售价2元.设有一等奖1个，奖金20000元；二等奖2个，奖金10000元；三等奖10个，奖金1000元.若卖出了N万张，（1）试分析发行单位的平均收益是多少?（2）该发行项目的风险可用哪个数字特征度量（只答不算）?解：设售出的N万张彩票中，中i等奖的有Xi张,i=1,2,3.故),10000(~iipNbX其中，1231/100000,2/100000,10/100000.ppp……3’再设发行单位的收益为Y万元，则3211.022XXXNY……1’（1）平均收益为)1.022()(321XXXNEYE)(1.0)()(22321XEXEXEN……2’)(5.1)11.010210122(万元NN……2’（2）该项目的风险可以用收益Y的方差或标准差来度量。……2’八.（6分）已知事件A的概率0)(AP，B是任意一个事件，证明：BA,相互独立.证明：()0PA，ABA，0()()0PABPA，从而()0PAB……3’()()()()0()()PABPAABPAPABPAPB于是事件BA,相互独立.证毕。……3’第7页共8页一、填空题解答：1．解：)()()(APBAPABP，由事件A,B互不相容知，当B发生时A一定不发生，即有AB，于是BBA.从而.743.016.01)()()(APBPABP2．解：因为)()()()(ABPBPAPBAP，所以1.08.02.07.0)()()()(BAPBPAPABP则（1）9.01.01)(1)(1)(ABPBAPBAP；（2）)()()()()()]([)(BAPBPAPAPBAPBAAPBAAP.976.08.07.07.0)]()([)](1[)()(ABPAPBPAPAP3．解：X的分布律为.2,1,0,)(210282kCCCkXPkk即从而X的分布函数为2,121,45/4410,45/280,0)(xxxxxF.4．解：因为X的概率密度其它,02||,cos)(xxaxfX，则axdxaxdxadxxfX2cos2cos)(12022，从而.21a于是（1）43cos21)()656(26656xdxdxxfXPX.X012kp28/4516/451/45－π/2－π/6π/25π/6x第8页共8页（2）因为)32()32()23()()(yFyXPyXPyYPyFXY，且22322yy，于是23XY的概率密度为elseyyyfyfXY,02,32cos6131)32()(.5．解：（1）8230251)(3)(2)()32()(321321XEXEXEXXXEYE；（2）因为1X,2X,3X相互独立，故55292412)]1(5[)(3)()2()()32()(22232221321XDXDXDXXXDYD.6.解：因为)0,3,4,2,1(),(22N~YX，所以)5,1(~2NYX，故)1,0(~51NYX，从而1587.08413.01)1(1)1()51451()4(YXPYXP.7.解：因为X的概率密度201()0abxxfx其他,且41)(XE，故