概率论与数理统计浙大四版习题答案第五章

54第五章大数定理和中心极限定理1．[一]据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在随机的抽取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。解：设第i只寿命为Xi，（1≤i≤16），故E(Xi)=100，D(Xi)=1002(l=1,2,…,16).依本章定理1知8.040016001001616001920100161600)1920(160160161iiiiiiXPXPXP.7881.0)8.0(从而.2119.07881.01)1920(1)1920(161161iiiiXPXP3．[三]计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（－0.5，0.5）上服从均匀分布，（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）几个数相加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90解：（1）设取整误差为Xi（,2,1i，1500），它们都在（－0.5,0.5）上服从均匀分布。于是：025.05.0)(pXEi12112)]5.0(5.0[)(2iXD18.111251211500)(,0)(iiXnDXnE1515115115150011500115000iiiiiiXPXPXP5518.111518.1118.1115115001iiXP1802.0]9099.01[2)]34.1(1[2)]34.1()34.1([18．某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8，医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？解：设X为100人中治愈的人数，则X～B(n,p)其中n=100（1）)75(1751)75(1)75(npqnpnpqnpnpqnpXPXPXP8944.0)45()45(1（2）p=0.7由中心极限定理知)75(1751)75(1)75(npqnpnpqnpnpqnpXPXPXP.1379.08621.01)09.1(1)215(17．[七]一复杂的系统，由100个互相独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10。为了整个系统起作用至少必需有85个部件工作。求整个系统工作的概率。（2）一个复杂的系统，由n个互相独立起作用的部件所组成，每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为0.90。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多少才能使系统的可靠性不低于0.95。解：（1）设每个部件为Xi(i=1,2,……100)部件损坏不工作部件工作01iX56设X是100个相互独立，服从（0－1）分布的随机变量Xi之和X=X1+X2+……+X100由题设知n=100P{Xi=1}=p=0.9,P{Xi=0}=0.1E(Xi)=p=0.9D(Xi)=p(1－p)=0.9×0.1=0.09n·E(Xi)=100×0.9=90,nD(Xi)=100×0.09=9)()(85)()(851001iiiiiiXnDXnEXnDXnEXPXP=3539099085990XPXP=353901XP由中心极限定理知3522211dteπt)35(1查标准正态分布表=φ(1.67)=0.9525解：（2）设每个部件为Xi(i=1,2,……n)部件损坏不工作部件工作01iXP{Xi=1}=p=0.9,P{Xi=0}=1－p=0.1E(Xi)=p=0.9,D(Xi)=0.9×0.1=0.09由问题知95.0100801niinXP求n=?而nXPnii10080157)(10080)(1iiniiXnDnpnXnDnpXP=nnnnnXPnii3.09.0100803.09.01=1－nnnnnXPnii3.09.0100803.09.01由中心极限定理知=95.03.01.03.01.01nnnn查标准正态分布表得645.13.01.0nn解得n≥24.35取n=25，即n至少为25才能使系统可靠性为0.95.[八]随机地取两组学生，每组80人，分别在两个实验室里测量某种化合物的PH值，各人测量的结果是随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为5，方差为0.3，以YX,分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均：（1）求P{4.91.5X}（2）1.01.0{YXP}解：由中心极限定理知3.080580801iiXU～N(0,1)3.080580801jjYV～N(0,1)（1）3.080580801.53.0805803.080580809.4}1.59.4{801iiXPXP588968.019484.021)63.1(263.12458063.1801iiXP（2）由Xi,Yj的相互独立性知801801jjiiYX与独立。从而U，V独立。于是U－V～N(0,2)而24801801jjiiYXVUZ3.080801.03.0803.080801.0}1.01.0{801801jjiiYXPYXP1)15.1(2263.1263.1}63.163.1{ZP=2×0.8749－1=0.7498[九]某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望μ（未知），方差σ2=400为了估计μ，随机地取几只这种器件，在时刻t=0投入测试（设测试是相互独立的）直到失败，测得其寿命X1，…，Xn，以niiXnX11作为μ的估计，为使,95.0|}{|μXP问n至少为多少？解：由中心极限定理知，当n很大时)1,0(~221NσnμnXnσnμnXnii22222}1|{|σnnσnnσnnσnμnXnσnnPμXP59=95.01202n所以975.020n查标准正态分布表知64.153696.120nn即n至少取1537。