概率论与数理统计第五章习题

1概率论与数理统计习题第五章大数定律及中心极限定理习题5-1据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的。求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。解：设第i只寿命为Xi，（1≤i≤16），故E(Xi)=100，D(Xi)=1002(l=1,2,…,16).依本章定理1知8.040016001001616001920100161600)1920(160160161iiiiiiXPXPXP.7881.0)8.0(从而.2119.07881.01)1920(1)1920(161161iiiiXPXP习题5-2设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg,问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？解设Xi表示第i只零件的重量,则E(Xi)=0.5,D(Xi)=0.01.于是5000只零件的总重量X=50001iiX,所以由独立同分布中心极限定理知,{2510}PX=250025102500{}50000.150000.1XP1(2)=1-0.921=0.079.习题5-3有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？解设100根中有X根短于3m，则X~B（100，0.2）从而301000.2{30}1{30}11000.20.8PXPX1(2.5)10.99380.0062.习题5-4（1）一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成.在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10,为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件正常工作，求整个2系统起作用的概率.100(100,0.9),))85{85)1)1(1.67)(1.67)0.9525XXBPX注释：设这个部件中没有损坏部件数为，则服从二项分布且有______EX=np=1000.9=90,DX=npq=900.1=9由拉普拉斯定理，b-EXa-EXP{aXb}((DXDX故至少须有个部件工作的概率为：85-90(9（2）一复杂的系统由n个相互独立起作用的部件所组成.每个部件的可靠性为0.90，且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统正常工作，问n至少为多大才能使系统的可靠性不低于0.95？解：（2）设每个部件为Xi(i=1,2,……n)部件损坏不工作部件工作01iXP{Xi=1}=p=0.9,P{Xi=0}=1－p=0.1E(Xi)=p=0.9,D(Xi)=0.9×0.1=0.09由问题知95.0100801niinXP求n=?而nXPnii100801)(10080)(1iiniiXnDnpnXnDnpXP=nnnnnXPnii3.09.0100803.09.01=1－nnnnnXPnii3.09.0100803.09.01由中心极限定理知3=95.03.01.03.01.01nnnn查标准正态分布表得645.13.01.0nn解得n≥24.35取n=25，即n至少为25才能使系统可靠性为0.95.习题5-5随机地选取两组学生，每组80人，分别在两个实验室里测量某种化合物的pH值.各人测量的结果是随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为5，方差为0.3，以YX,分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均：（1）求}1.59.4{XP；（2）求}1.01.0{YXP（1）求P{4.91.5X}（2）1.01.0{YXP}解：由中心极限定理知3.080580801iiXU～N(0,1)3.080580801jjYV～N(0,1)（1）3.080580801.53.0805803.080580809.4}1.59.4{801iiXPXP8968.019484.021)63.1(263.12458063.1801iiXP（2）由Xi,Yj的相互独立性知801801jjiiYX与独立。从而U，V独立。于是U－V～N(0,2)而24801801jjiiYXVUZ3.080801.03.0803.080801.0}1.01.0{801801jjiiYXPYXP41)15.1(2263.1263.1}63.163.1{ZP=2×0.8749－1=0.7498习题5-6某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望（未知），方差.4002为了估计，随机地取n只这种器件，在时刻0t投入测试（设测试是相互独立的）直到失败，测得其寿命为nXXX,,,21，以niiXnX11作为的估计.为了使95.0}1|{|XP，问n至少为多少？解：由中心极限定理知，当n很大时)1,0(~221NσnμnXnσnμnXnii22222}1|{|σnnσnnσnnσnμnXnσnnPμXP=95.01202n所以975.020n查标准正态分布表知64.153696.120nn即n至少取1537。