概率论与数理统计练习题练习题及参考答案(东师)

《概率论与数理统计》练习题一一、判断正误，在括号内打√或×1．nXXX,,,21是取自总体),(2N的样本，则niiXnX11服从)1,0(N分布；2．设随机向量),(YX的联合分布函数为),(yxF，其边缘分布函数)(xFX是)0,(xF；3．（√）设＜＜xx|，20|＜xxA，31|＜xxB，则BA表示10|＜＜xx；4．若事件A与B互斥，则A与B一定相互独立；5．对于任意两个事件BA、，必有BABA；6．设A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”；7．（√）BA、为两个事件，则ABAAB；8．（√）已知随机变量X与Y相互独立，4)(,8)(YDXD，则4)(YXD；9．（√）设总体)1,(~NX，1X,2X,3X是来自于总体的样本，则321636161ˆXXX是的无偏估计量；10．（√）回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关关系。二、填空题1．设CBA、、是3个随机事件，则事件“A和B都发生而C不发生”用CBA、、表示为CAB2．设随机变量X服从二项分布),(pnB，则EXDXp1:3．,,,0,1)(其他bxaabxf是均匀分布的密度函数；4．若事件CBA、、相互独立，且25.0)(AP，5.0)(BP，4.0)(CP，则)(CBAP=分布函数；5．设随机变量X的概率分布为X-4-1024kp207aa2201203则a)()(YDXD；6．设随机变量X的概率分布为X012kp0.50.30.2则12X的概率分布为222)(21xe7．若随机变量X与Y相互独立，2)(,)(YEaXE，则)(XYE)()(yfxfYX8．设1与2是未知参数的两个0.99估计，且对任意的满足)()(21DD，则称1比2有效；9．设nXXX,,,21是从正态总体),(2N抽得的简单随机样本，已知202，现检验假设0：H，则当222121)()(nnYDXD时，00)(Xn服从)1,0(N；10．在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平（10），则犯第一类错误的概率是.三、计算题1.已知随机事件A的概率5.0)(AP，事件B的概率6.0)(BP，条件概率8.0)|(ABP，试求事件BA的概率)(BAP。解：因为5.0)(AP，8.0)|(ABP，所以4.0)|()()(ABPAPABP。进而可得7.0)()()()(ABPBPAPBAP。2.设随机变量),(~pnB，且28.1)(,6.1)(XDXE，试求n，p。解：因为随机变量),(~pnB，所以)1()(,)(pnpXDnpXE，由此可得28.1)1(,6.1pnpnp，解得8n，2.0p；3.已知连续型随机变量)2,3(~NX，试求它的密度函数)(xf。解：4)23(XE4.已知一元线性回归直线方程为xay4ˆˆ，且3x，6y，试求aˆ。解：0，2；5.设总体X的概率密度为,0,10,)1();(其它，xxxf式中－1是未知参数，nXXX,,,21是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，用最大似然估计法求的估计量。解：0.8；6.设nXXX,,,21是取自正态总体),0(2N的一个样本，其中0未知。已知估计量niiXk122ˆ是2的无偏估计量，试求常数k。解：)10exp(101)(2zzf7.设有10个零件，其中2个是次品，任取2个，试求至少有1个是正品的概率。解：（1）由于12)(0dxeAdxAedxxpxx即2A=1，A=21，所以xexp21)(；（2）2121}10{110edxeXPx；四、证明题1.设二维连续型随机向量),(YX的联合密度函数为其他。，；，，010104),(yxxyyxf证明:X与Y相互独立。2.1．若事件A与B相互独立，则A与B也相互独立。证明：由二维连续型随机向量),(YX的联合密度函数为其他。，；，，010104),(yxxyyxf可得两个边缘密度函数分别为：其他。，；，0102),()(xxdyyxfxfX其他。，；，0102),()(yydxyxfyfY从而可得)()(),(yfxfyxfYX，所以X与Y相互独立。2．若事件BA，则)()(BPAP。《概率论与数理统计》练习题二一、判断正误，在括号内打√或×.1．若0)(ABP，则AB一定是空集；2．对于任意两个事件BA、，必有BABA；3．nXXX,,,21是取自总体),(2N的样本，则niiXnX11服从),(2nN分布；4．设＜＜xx|，20|＜xxA，31|＜xxB，则BA表示10|＜＜xx；5．若事件A与B互斥，则A与B一定相互独立；6．（√）设甲、乙、丙人进行象棋比赛，考虑事件A={甲胜乙负}，则A为{甲负乙胜}；7．（√）设CBA、、表示3个事件，则CBA表示“CBA、、三个事件都不发生”；8．若BA、为两个事件，则必有ABAAB；9．设随机变量X和Y的方差存在且不为零，若)()()(YDXDYXD成立，则X和Y一定不相关；10.（√）设)1,(~NX，321,,XXX来自于总体的样本，321515252ˆXXX是的无偏估计量；二、填空题4．对于随机变量X，函数)()(xXPxF称为X的0.73；5．设X与Y是两个相互独立的随机变量，)()(YDXD、分别为其方差，则)(YXD3/20；6．若随机变量X服从正态分布),(2N，则其概率密度函数)(xp=12X135kp0.50.30.27．设),(yxf是二维随机变量),(YX的联合密度函数,)(xfX与)(yfY分别是关于X与Y的边缘概率密度,且X与Y相互独立,则有),(yxfa2；8．对于随机变量X，仅知其3)(XE，251)(XD，则由契比雪夫不等式可知)2|3(|XP无偏；9．设),(~),,(~222211NYNX，X与Y相互独立，1,,,21nXXX是X的样本，2,,,21nYYY是Y的样本，则)(YXD0H成立；10．nXXX,,,21是总体X的简单随机样本的条件是：（1）nXXX,,,21相互独立；（2）nXXX,,,21与总体X有相同的概率分布。三、计算题3.已知离散型随机变量X服从参数为2的普阿松分布，即,2,1,0,!2)(2kkekXPk…，试求随机变量23XZ的数学期望。解：因为随机变量X服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式：)(21)(222)(xexfx；进而，将2,3代入上述表达式可得所求的密度函数为：)(xf)(214)3(2xex；4.设连续型随机变量X的密度函数为其他，，0,10,)(xbaxxf且31)(XE，试求常数a和b。解：由4ˆb可得6ˆˆxbya；5.若随机变量X在区间)6,1(上服从均匀分布，试求方程012Xyy有实根的概率。解：21)1();()(101dxxdxxxfXE由矩估计法知，令X＝＋＋21得参数的矩估计量ˆˆ112XX－－＝。6.已知随机变量)1,3(~NX，)1,2(~NY，且X与Y相互独立，设随机变量72YXZ，试求Z的密度函数。解：n1。7.已知随机变量X的概率密度为xAexpx,)(，试求（1）常数A；（2）10XP。解：44/45或0.978。得分评卷人十、证明题一个电子线路上电压表的读数X服从[,+1]上的均匀分布，其中是该线路上电压的真值，但它是未知的，假设nXXX,,,21是此电压表上读数的一组样本，试证明：(1)样本均值X不是的无偏估计；(2)的矩估计是的无偏估计。设),,,(21nXXX是取自总体),0(2N的样本，试证明统计量niiXXn12)(11是总体方差2的无偏估计量。证明：（1）由)(XE，知X不是的无偏估计；（2）的矩估计为21X，由21XE，知它是的无偏估计。