概率论与数理统计第二章补充题及答案

统计学院概率论与数理统计补充题第单元补充题及参考答案第1页共11页2013-月《概率论与数理统计》第二单元补充题一、填空题：1、函数()fx为连续型随机变量X的概率密度函数的充要条件是12），）2、随机变量X的分布律为5110321210PX，则2X的分布律为__________,2X+1的分布律为__________3、设离散型随机变量X的分布律为,2,1,21}{kkXPk，则随机变量XY2sin的分布律为4、设离散型随机变量X的分布律为k=1,2,3,…，则c=.5、设随机变量X的概率密度函数为，则P(0X3π/4)=.6、随机变量)31,10(~bX，则0PX，1PX7、随机变量X的分布律为1,2,3,4,5)5aPXkk，（，则a，(2.5)F8、随机变量X服从(0,)b上的均匀分布，且1133PX，则b9、已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，则1PX，1PX二、选择题：1、下列命题正确的是。（A）连续型随机变量的密度函数是连续函数（B）连续型随机变量的密度函数()0()1fxfx满足（C）连续型随机变量的分布函数是连续函数（D）两个概率密度函数的乘积仍是密度函数统计学院概率论与数理统计补充题第单元补充题及参考答案第2页共11页2013-月2、设)(1xF与)(2xF分别为随机变量1X与2X的分布函数，则为使12()()()FxaFxbFx是某随机变量的分布函数，下列结果正确的是________（A）32,55ab（B）22,33ab(C）13,22ab（D）13,22ab三、计算题1、已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2四个值,相应概率依次为cccc167,85,43,21,确定常数c并计算P{ξ1|ξ≠0}.2、已知ξ~其它0102)(xxx,求P{ξ≤0.5};P(ξ=0.5);F(x).3、设连续型随机变量ξ的分布函数为:111000)(2xxAxxxF求：（1）、系数A;（2）、P(0.3ξ0.7);（3）、概率密度φ(x).4、设随机变量X的密度函数其他0102)(xxxf用Y表示对X的三次独立重复观察中事件}21{X出现的次数，求（1）P{Y=2}；（2）P{Y≥1}.5、已知离散型随机变量X的概率分布为,2,1,32}{nnXPn，求随机变量XY)1(1的分布律和分布函数.6、（1）、已知随机变量X的概率密度函数为1(),2xXfxex，求X的分布函数。（2）、已知随机变量X的分布函数为(),XFx另有随机变量1,0,1,XYX0。试求Y的分布律和分布函数。7、甲、乙二人轮流投篮，每人一次，甲先开始，直到有一人投中为止，假定各人投中与否互不影响，已知二人投篮的命中率分别为0.7和0.8。记Y表示二人投篮的总次数。（1）求Y的分布律；（2）问谁先投中的可能性大？8、假设随机变量X的绝对值不大于1，81}1{XP；41}1{XP；在事件“|X|1”发生的条件下，X在（-1，1）内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度统计学院概率论与数理统计补充题第单元补充题及参考答案第3页共11页2013-月成正比，求X的分布函数.9.一个人在一年中患感冒的次数X服从参数为4的Poisson分布．现有一种预防感冒的新药，它对于22%的人来讲，可将上面的参数降为1（称为疗效显著）；对37%的人来讲，可将上面的参数降为3（称为疗效一般）；而对于其余的人来讲则是无效的．现有一人服用此药一年，在这一年中，他患了2次感冒，求此药对他是“疗效显著”概率有多大？四、问答题1、随机变量与普通函数有何不同？引入随机变量有何意义？2、随机变量的分布函数有什么意义？3、连续型随机变量的dxxf)(与离散型随机变量的kp在概率中的意义是否相同？4、为什么0}{aXP不能说明X=a是不可能事件？5、不同的随机变量，它们的分布函数是否一定不同？统计学院概率论与数理统计补充题第单元补充题及参考答案第4页共11页2013-月《概率论与数理统计》第二单元补充题参考答案一、填空题：1、函数()fx为连续型随机变量X的概率密度函数的充要条件是（1）,0)(xf（2）.1)(dxxf2、随机变量X的分布律为5110321210PX，则2X的分布律为51103214102PX,2X+1的分布律为511032153112PX3、设离散型随机变量X的分布律为,2,1,21}{kkXPk，则随机变量XY2sin的分布律为15831152101pY4、设离散型随机变量X的分布律为k=1,2,3,…，则c=0.5.5、设随机变量X的概率密度函数为，则P(0X3π/4)=1/26、随机变量)31,10(~bX，则1032)0(XP，.321)1(10XP7、随机变量X的分布律为1,2,3,4,5)5aPXkk，（，则1a，52)5.2(F8、随机变量X服从(0,)b上的均匀分布，且1133PX，则236b或9、已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，则,e2)1(-2XP，,e3)1(-2XP二、选择题：1、下列命题正确的是C。（A）连续型随机变量的密度函数是连续函数（B）连续型随机变量的密度函数()0()1fxfx满足统计学院概率论与数理统计补充题第单元补充题及参考答案第5页共11页2013-月（C）连续型随机变量的分布函数是连续函数（D）两个概率密度函数的乘积仍是密度函数2、设)(1xF与)(2xF分别为随机变量1X与2X的分布函数，则为使12()()()FxaFxbFx是某随机变量的分布函数，下列结果正确的是__A______（A）32,55ab（B）22,33ab(C）13,22ab（D）13,22ab二、计算题1、已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2四个值,相应概率依次为cccc167,85,43,21,确定常数c并计算P{ξ1|ξ≠0}.解:根据概率函数的性质有1}2{}1{}0{}1{PPPP即1167854321cccc得2.3125163716710128167854321c设事件A为ξ1,B为ξ≠0,(注:如果熟练也可以不这样设)则32.0258167852121}2{}1{}1{}1{)0{}01{)()(}0|1{PPPPPPBPABPP.2、已知ξ~其它0102)(xxx,求P{ξ≤0.5};P(ξ=0.5);F(x).解:25.005.020)(}5.0{225.0025.0005,0|xxdxdxdxxP；因ξ为连续型随机变量,因此取任何点的概率均为零,所以P{ξ=0.5}=0；现在求F(x):当x0时,F(x)=0统计学院概率论与数理统计补充题第单元补充题及参考答案第6页共11页2013-月当0≤x1时,20200|20)()(xttdtdtdttxFxxx当x≥1时,F(x)=1综上所述,最后得:111000)(2xxxxxF3、设连续型随机变量ξ的分布函数为:111000)(2xxAxxxF求：（1）、系数A;（2）、P(0.3ξ0.7);（3）、概率密度φ(x).解:（1）因ξ是连续型随机变量,因此F(x)必是连续曲线,则)01()01(FF因此A×12=1,即A=1.（2）则分布函数为111000)(2xxxxxFP(0.3ξ0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.49-0.09=0.4（3）概率密度φ(x)为其它0102)()(xxxFx4、设随机变量X的密度函数其他0102)(xxxf用Y表示对X的三次独立重复观察中事件}21{X出现的次数，求（1）P{Y=2}；（2）P{Y≥1}解：首先可计算得到43411|2}21{1212121xxdxXP由题意知Y～b（3，43）所以（1）64274143}2{223CYP统计学院概率论与数理统计补充题第单元补充题及参考答案第7页共11页2013-月（2）646341431}0{1}1{3003CYPYP5、已知离散型随机变量X的概率分布为,2,1,32}{nnXPn，求随机变量XY)1(1的分布律和分布函数解：由于43911132913232}12{}0{00120kkkkkkXPYP41}0{1}2{YPYP因此，Y的分布律为：414320kpY，易计算，它的分布函数为21204300)(yyyyFY。6、（1）、已知随机变量X的概率密度函数为1(),2xXfxex，求X的分布函数。（2）、已知随机变量X的分布函数为(),XFx另有随机变量1,0,1,XYX0。试求Y的分布律和分布函数。解：（1）由于1,0,2()1,0.2xXxexfxex所以110()()22xxxxXXxFxfxdxedxe当时，001110()()1222xxxxxXXxFxfxdxedxedxe当时，统计学院概率论与数理统计补充题第单元补充题及参考答案第8页共11页2013-月所以1,0,2()11,0.2xXxexFxex（2）易知11(1)(0)(0),(1)(0)1(0),22XXPYPXFPYPXF于是Y的分布律为Y-11P2121分布函数为0,11(),1121,1YyFyyy7、甲、乙二人轮流投篮，每人一次，甲先开始，直到有一人投中为止，假定各人投中与否互不影响，已知二人投篮的命中率分别为0.7和0.8。记Y表示二人投篮的总次数。（1）求Y的分布律；（2）问谁先投中的可能性大？解：易知P{Y=1}=0.7P{Y=2}=0.3×0.8P{Y=3}=0.3×0.2×0.7P{Y=4}=0.32×0.2×0.8所以：（1）分布律：,...2,17.02.03.0}12{8.02.03.0}2{111kkYPkYPkkkk（2）7447.006.017.0)7.02.03.0(}12{}{1111kkkkkYPP甲先投中2553.006.0124.0)8.02.03.0(}2{}{111kkkkkYPP乙先投中∴甲先投中的可能性大8、假设随机变量X的绝对值不大于1，81}1{XP；41}1{XP；在事件“|X|1”发生的条件下，X在（-1，1）内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，求X的分布函数解：当0)(1xFx当81)1(1Fx当1)(1xFx统计学院概率论与数理统计补充题第单元补充题及参考答案第9页共11页2013-月由于当11x时，有)1(}11|1{xkXxXP即当211)11(1kkx21}11{}1{}11|1{xXPxXPXxXP∴16)1(54181121}1{xxxXP167516)1(581}1{}1{}{)(xxxXPXPxXPxF，，，4321111kp