概率论与数理统计阶段练习2_参考答案

《概率论与数理统计》阶段练习2参考答案1、一报童卖报,每份0.15元,其成本为0.10元.报馆每天给报童1000份报,并规定他不得把卖不出的报纸退回.设X为报童每天卖出的报纸份数,试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.2、设随机变量X的概率分布为:0,,2,1,0,!}{kkaKXPk.试确定常数a.解依据概率分布的性质：,1}{0}{kkXPkXP欲使上述函数为概率分布应有,0a,1!0kkaeKa从中解得.ea注:这里用到了常见的幂级数展开式.!0kkKe3、X具有离散均匀分布,即,,,2,1,/1)(ninxXPi求X的分布函数.解将X所取的n个值按从小到大的顺序排列为)()2()1(nxxx则)1(xx时，,0}{)(xXPxF)2()1(xxx时，,/1}{)(nxXPxF)3()2(xxx时，,/2}{)(nxXPxF……)1()(kkxxx时，,/}{)(nkxXPxF)(nxx时，1}{)(xXPxF故)(xF),,max(,1),,2,1(),,min(,/),,min(,0111njnnxxxxknjxxxxnkxxx当个不大于中恰好有且当当4、设随机变量X的概率分布为4/12/14/1421ipX,求X的的分布函数，并求,2/1XP,2/52/3XP.32XP5、设随机变量X的密度函数为其它,011,12)(2xxxf求其分布函数)(xF.解xdttfxXPxF)(}{)(当,1x;0)(xF当,11xxdttdtxF121120)(21arcsin112xxx当,1x,1)(xF故.1,111,21arcsin111,0)(2xxxxxxxF6、设随机变量X具有概率密度.,0,43,22,30,)(其它xxxkxxf}.2/71{)3();()2(;)1(XPxFXk求的分布函数求确定常数解(1)由,1)(dxxf得,1224330dxxkxdx解得,6/1k于是X的概率密度为.,043,2230,6)(其它xxxxxf(2)X的分布函数为)(xF4,143,22630,60,03030xxdttdttxdttxxx.4,143,4/2330,12/0,022xxxxxxx(3)2/71)(}2/71{dxxfXP2/73312261dxxxdx2/73231242121xxx,4841或)1()2/7(}2/71{FFXP.48/417、设某项竞赛成绩NX~（65,100），若按参赛人数的10%发奖，问获奖分数线应定为多少？解设获奖分数线为,0x则求使1.0}{0xXP成立的.0x)(1}{1}{000xFxXPxXP,1.0106510x即,9.010650x查表得,29.110650x解得,9.770x故分数线可定为78分.8、在电源电压不超过200伏，在200~240伏和超过240伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2.假设电源电压X服从正态分布N(220，252)，试求：(1)该电子元件损坏的概率;(2)该电子元件损坏时，电源电压在200~240伏的概率.解引入事件1A{电压不超过200伏},2A{电压不超过200~240伏},3A{电压超过240伏};B{电子元件损坏}.由条件知),25,220(~2NX因此2522020025220}200{)(1XPXPAP;212.0)8.0(1)8.0(}240200{)(2XPAP8.0252208.0XP.576.01)8.0(2}240{1}240{)(3XPXPAP.212.0)8.0(1(1)由题设条件,,1.0)|(1ABP,001.0)|(2ABP2.0)|(3ABP于是由全概率公式,有.0642.0)|()()(31iiiABPAPBP(2)由贝叶斯公式,有.009.0)()|()()|(222BPABPAPBAP9、已知某台机器生产的螺栓长度X(单位:厘米)服从参数,05.1006.0的正态分布.规定螺栓长度在12.005.10内为合格品,试求螺栓为合格品的概率.解根据假设),06.0,05.10(~2NX记,12.005.10a,12.005.10b则}{bXa表示螺栓为合格品.于是}{bXaPab)2()2()]2(1[)2(1)2(219772.02.9544.0即螺栓为合格品的概率等于0.9544.10.已知)5.0,8(~2NX，求(1));7(),9(FF(2)}105.7{XP;(3)};1|8{|XP(4)}.5.0|9{|XP11.某种型号电池的寿命X近似服从正态分布),(2N,已知其寿命在250小时以上的概率和寿命不超过350小时的概率均为92.36%,为使其寿命在x和x之间的概率不小于0.9,x至少为多少?12、设)1,0(~NX,求2XY的密度函数.解记Y的分布函数为),(xFY则}.{}{)(2xXPxYPxFY显然,当0x时，;0}{)(2xXPxFY当0x时,}{)(2xXPxFY.1)(2}{xxXxP从而2XY的分布函数为0,00,1)(2)(xxxxFY于是其密度函数为0,00),(1)()(xxxxxFxfYY.0,00,212/xxexx注:以上述函数为密度函数的随机变量称为服从)1(2分布,它是一类更广泛的分布)(2n在1n时的特例.关于)(2n分布的细节将在第五章中给出.13、设随机变量X服从参数为的指数分布,求}2,min{XY的分布函数.解根据已知结果,X的分布函数0,00,1)(xxexFxXY的分布函数}}2,{min{}{)(yXPyYPyFY}}2,{min{1yXP}.2,{1yyXP当2y时，),(}{}{1)(yFyXPyXPyFXY当2y时，.1)(yFY代入X的分布函数中可得.2,120,10,0)(yyeyyFyY注：在本例中,虽然X是连续型随机变量,但Y不是连续型随机变量,也不是离散型随机变量,Y的分布在2y处间断.14、设随机变量X在)1,0(上服从均匀分布,求XYln2的概率密度.解在区间(0,1)上,函数,0lnx故,0ln2xy02xy于是y在区间),0(上单调下降,有反函数2/)(yeyhx从而其它,010,)()()(2/2/2/yyyXYedyedefyf已知X在在(0,1)上服从均匀分布,其它,010,1)(xxfX代入)(yfY的表达式中,得其它,00,21)(2/yeyfyX即Y服从参数为1/2的指数分布.15.设X的分布列为10/310/110/110/15/12/52101ipX试求:(1)2X的分布律;(2)2X的分布律.16.设随机变量X的概率密度为.,0,0,/2)(2其它xxxf求XYsin的概率密度.