概率论习题试题集2

1第二章一维随机变量及其分布一、填空题1.设某批电子元件的正品率为109，次品率为101，现对这批元件测试，只有要测得一个次品就停止测试工作，则测试次数X的概率分布函数是_______________。2.设随机变量X服从正态分布2~(,),0XN，且二次方程240yyX无实根的概率为1/2，则_________。3.已知随机变量X只能取2101，，，四个数值，其相应的概率依次为cccc162,85,43,21，则_________c。4.设随机变量X的分布函数02()(1sin)2212xFxAxxx，则常数___________A；___________)4(XP；密度函数______________)(xf。5.若X的概率分布为313131101PX，则X的分布函数______________)(xF；12XY的概率分布为______________；Y的分布函数为______________。6.设X服从正态分布)2,3(2N，则_____)52(XP；_______)72(XP；若)()(CXPCXP，则_____C。7.设随机变量X的绝对值不大于1，且41)1(,81)1(XPXP，则_____________)11(XP。8.设随机变量X的密度函数其他,010,4)(3xxxf，则当_________a时，有)()(aXPaXP.29.设随机变量X的密度函数其他,010,3)(2xxxf，若随机变量Y表示对X的3次独立观察中事件)32X（出现的次数，则___________)0(YP。10.若随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，则方程012Xxx有实根的概率是_______。二、选择题1．任何一个连续型随机变量的概率密度)(xf一定满足（）（A）1)(0xf（B）1)(limxfx（C）1)(dxxf（D）在定义域内单调非减2.设随机变量X服从参数为2的指数分布，则随机变量XeY21（）（A）在（0，1）上服从均匀分布（B）仍服从指数分布（C）服从正态分布（D）服从参数为2的泊松分布3.设随机变量X服从正态分布)4,0(N，则)1(XP（）（A）dxex810221（B）dxex41041（C）2121e（D）dxex82122214.下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是（）（A）211)(xxF（B）xxFsin)(（C）0,1011)(2xxxxF，（D）1,110,1.10,0)(xxxxF5.设随机变量X的概率密度函数)(21)(4)3(2xexfx，则Y=（）时，)1,0(~NY。（A）23x（B）23x3（C）23x（D）23x6.设X1和X2是任意两个独立的连续型随机变量，他们的概率密度分别为12()()fxfx和，分布函数分别为12()()FxFx和，下列说法哪个正确？（）（A）12()()fxfx必为某个随机变量的密度函数（B）12()()fxfx必为某个随机变量的密度函数（C）12()()FxFx必为某个随机变量的分布函数（D）12()()FxFx必为某个随机变量的分布函数三、计算题1、确定随机变量X的密度函数中的参数，求分布函数，计算1(2)2Px：⑴其它,0]1,0[,)(4xcxxf；⑵其它,0]1,0[,1)(2xxcxf。2、如果连续型随机变量X的分布函数为：①,0()0,0xabexFxx，②()arctan,()Fxabxx分别求：（1）,ab；（2）{11}Px；（3）求密度函数。3、设随机变量X的密度函数为：,01(),0)0,baxxfxab，（其它如果已知22()()22PXPX，求：a和b，写出分布函数。4、已知随机变量X的密度函数为：xexfxx,61)(6442，问：（1）X服从什么分布？（2）若已知ccdxxfdxxf)()(，求常数c；（3）求：(04),(7),()PXPXfx的最大值。45、设服从参数1的指数分布，求方程02442xx无实根的概率。6、某房间有三扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房间里飞来飞去，试图飞出房间。1）假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律；2）户主声称，他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试次数不多于一次。以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数。如户主所说是确实，试求Y的分布律。3）写出Y的分布函数。7、已知随机变量X只能取-1，0，1，2四个值，相应的概率依次为：1/2c、3/4c、5/8c、7/16c，试(1)确定常数c，写出X的分布函数，求：P（X1）、P（-1X2）;(2)求出2X-1和X2+1的概率分布律。8、假设离散型随机变量X的分布函数为：0,10.2,11()0.7,131,3xxFxxx。求：（1）X的概率分布；（2）1.72,2.5PXPX。9、某加油站替公共汽车公司代理出租汽车服务，每出租一辆车，可以得到3元的报酬。因代理业务，加油站每天要多支付给职工服务费60元。假设每天租出的汽车数X是一个随机变量，它的概率分布如下：102030400.150.250.450.15XP，求代理业务得到的收入大于的额外支出费用的概率。10、设在时间t内（单位：分钟），通过某交叉路口的其服从参数与t成正比的泊松分布，已知在一分钟内没有汽车通过的概率0.2，求在2分钟内最多一辆汽车通过的概率。11、某人去火车站乘车，有两条路可以走。第一条路路程较短，但是交通比较拥挤，所需要的时间X1～N（40，102）；第二条路比较长，但是以外阻塞较少，所需时间X2～N（50，16）；。试计算：（1）若动身离开火车开的时间只有60分钟，应走哪条路线？（2）若动身离开火车开的时间只有45分钟，应走哪条路线？12、某仪器装有3只独立工作的同型号的电子元件，其寿命X～E(λ)，λ=1/600。试求在5仪器使用的最初200小时内，（1）至少有一个元件损坏的概率；（2）只有一个元件没坏的概率。13、假设随机变量X服从（0，1）上的均匀分布，求证：随机变量ln(1)2XY服从参数为2的指数分布。14、假设X～N（0，1），求：Y=2X2+1的概率密度。15、100件产品中，90个一等品，10个二等品，，随机取2个安装在某台设备上，若一台设备中有i个（i=0、1、2）二等品，则此设备的使用寿命服从参数为i+1的指数分布。求：（1）设备寿命超过1的概率；（2）已知设备寿命超过1，求安装在设备上的两个零件都是一等品的概率。16、从学校到火车站的路上有3个交通岗，假设各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率均为2/5，假设X为路上遇到的红灯数。求：（1）X的分布律；（2）X的分布函数；（3）最多遇到1个红灯的概率？17、某人上班所需要的时间~(30,100)XN，（单位：分），已知上班时间是8：30，他每天7：50出门，求：（1）他某天上班迟到的概率？（2）一周（5天）最多迟到一次的概率？参考答案一、填空题1.3,2,1,101109)(1kkXPk2.43.2C4.其它,022,cos21)(,22)4(,21xxxfXPA5.1,111,3213,313,0)(,313131113,1,110,3201,311,0)(yyyyyFPYxxxxxFYX。6.3,9710.0)72(,5328.0)52(CXPXP。67.858.4219.3)2719(10.8.0二、选择题：1）C；2）A；3）D；4）C；5）B；6）D三、计算题1．（1）解：140()115fxdxcxdxc50,0()(),011,1xxFxfxdxxxx11131(2)(2)()1223232PxFF（2）解：1204()111cfxdxdxcx0,04()()arctan,011,1xxFxfxdxxxx1141(2)(2)()1arctan0.4097222PxFF。2①解：（1）()11101()0FaaabbFxx在连续（2）1(11)(1)(1)1PXFFe（3）,0()()0,xexfxFx其它，X服从指数为λ=1的指数分布；②解：（1）11()11122()arctan1()0202aabFFxxFbab（2）1(11)(1)(1)2PXFF7（3）21()(),()(1)fxFxxx。3、解：10122112222002211()112121()()22bbbbaaxdxfxdxbabfxdxfxdxaxdxaxdx22,01()0,0,0)(),011,1xxxfxxFxfxdxxxx=其他（4、解：（1）222(2)442(3)611(),623xxxfxeex；~(2,3)XN（2）2C（3）4202(04)()()2(1.1547)10.749833PX102(10)()13PX()fxx的最大值在处取得，1(2)6f。5、解：02442xx无实根2416(2)(1)012bac因为服从参数1的指数分布所以,0()0,0xexfxx22210(12)()10.86466xPfxdxedxe。6、解：1）121()(),(12,3,)33kPXkk82）1(),(1,2,3)3PYkk3）0,11/3,12()2/3,231,3YyyFyyy。7、解：（1）13573712481616ccccc20(1)37PX，22(12)37PX（2）28/3712/3710/377/3710122131131014PXXX2131138/3712/3710/377/37XP201412/3718/377/37XP。8、解：（1）1130.20.50.3XP（2）1.720PX，2.50.7PX。9、解：每天租出的汽车数为X，则得到的收入为3X，支付给职工的费用60元。(360)(20)(30)(40)0.450.150.6PXPXPXPX。10、解：通过路口的车辆数~()XP，kt，由一分钟内没有汽车通过的概率0.2得到:0(0)0.2ln51ln5ln50!PXekk2分钟内通过的车辆数~(),2ln5XP2分钟内最多一辆汽车通过的概率011(1)(0)(1)(12ln5)0!1!25