概率论概率论习题解答(第7章)

121习题七（A）三、解答题1.设总体X服从几何分布，分布律为,....2,1,)1(1kppkXPk，(10p)求p的矩估计量．解：因为,....2,1,)1(1kppkXPk，所以X的一阶矩.1)1(1)1(11))1(()1(}{)(2//'1111pppppppppppppkkXkPXEnkknkknk用样本的一阶A1=X代替总体X的一阶矩E(X)得到,1pX所以p的矩估计量为.1ˆXp2.求均匀分布),(~baUX中参数ba,的矩估计量．解：设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，总体X的一阶、二阶矩分别为2)(1baXE2=E(X2)=D(X)+[E(X)]2=3)2(12)(2222bababaab用样本的一阶、二阶矩A1和A2分别代替总体的一阶、二阶矩1和2，得到322221babaAbaA解得ba,的矩估计量为niiniiXXnXXXnAAAAa122121121)(33333ˆniiniiXXnXXXnAAAAb122121121)(33333ˆ1223.设总体X的概率密度为||21);(xexf，x1,,nXX是来自X的简单随机样本，求参数的矩估计量．解：总体X的一阶为)()()()()()()()()()(||12121212121|2121|212121212121)(xxxxxxxxxxxdededxexedxexexdexdedxexdxexdxexXE用样本的一阶A1=X代替总体X的一阶矩E(X)得到.ˆX4.设总体X的概率密度为其它,0,1);(/)(xexfθx，其中),0(是未知参数，1,,nXX是来自X的简单随机样本，求和的矩估计量．解：总体X的一阶为.|1)(/)(/)(/)(/)(/)(1θxθxθxθxθxdedxexexdedxexXE总体X的二阶为12322222/)(/)(2/)(2/)(222)(22)(22|1)(dxxeexdexdxexXEθxθxθxθx用样本的一阶、二阶矩A1和A2分别代替总体的一阶、二阶矩1和2，得到2221)(AA解得和的矩估计量为niiXXnAA12212)(1ˆ，niiXXnXAAA122121)(1ˆ.5.设),(~pmBX，m已知，10p未知，1,,nXX是来自X的简单随机样本，求p的最大似然估计量．解：由于X的分布律为mkppCxXPkmkkm,...,1,0,)1(}{基于样本观测值x1，x2，…，xn的似然函数为iixmnixxmnppCpxxxLpL)1();,...,,()(121,)1(111nixmxnmxiniiniiCpp,ln)1ln(ln)(ln111nixmniiniiiiCpxnmpxpL,01)(lndd11pxnmpxpLpniinii令解得.11mxxnmpnii124,0)1()(lndd212122pxnmpxpLpniinii注意到：p的最大似然估计值为.1ˆ1mxxnpniip的最大似然估计量为.ˆmXp6.设总体X的概率密度为0,00,);(xxexfx，今从X中抽取10个个体，得数据如下:1050110010801200130012501340106011501150试用最大似然估计法估计．解：设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，基于样本观测值x1，x2，…，xn的似然函数为其它,00,...,,,);();,...,,()(211211nxnniinxxxexfxxxLLnii当0,...,,21nxxx时，niixθnL1ln)(ln，令0)(ln1niixnLdd，解得xxnnii11．考虑到0)(ln222nLdd所以，θ的最大似然估计值为x1ˆ将数据代入计算，θ的最大似然估计量为ˆ0.0008581257.设某电子元件的使用寿命X的概率密度为,,0,,2);()(2xxexfx0为未知参数，nxxx,...,,21是X的一组样本观测值，求的最大似然估计值．解：设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，基于样本观测值x1，x2，…，xn的似然函数为其它,0,...,,,2);();,...,,()(21)(21211nxnniinxxxexfxxxLLnii容易看出θ越大L()越大，在约束nxxx,...,,21下，},...,,min{ˆ21nxxx即为θ最大似然估计值。8.设21,XX是取自总体N(，1)的一个样本，试证下面三个估计量均为的无偏估计量，并确定最有效的一个．213132XX，214341XX，.2121XX证明：因为21,XX独立均服从N(，1)，且,3132)(31)(32)3132(2121XEXEXXE,4341)(43)(41)4341(2121XEXEXXE.,)()2121(21XEXXE所以213132XX，214341XX，.2121XX均为的无偏估计量。又因为,9109199)(91)(94)3132(2121XDXDXXD,85169161)(169)(161)4341(2121XEXEXXD,212)()()2121(21XDXDXXD所以.2121XX最有效。1269.设总体X的数学期望为，1,,nXX是来自X的简单随机样本．naaa,,,21是任意常数,证明)0(111niiniiniiiaaXa是的无偏估计量．证明：因为Xi的数学期望均为，所以,)()(111111niiniiniiniiiniiniiiaaaXaEaXaE故)0(111niiniiniiiaaXa是的无偏估计量．10.设总体21~(,),,,nXNXX是来自X的一个样本．(1)试确定常数c，使1121)(niiiXXc为2的无偏估计;(2)试确定常数c，使)(22cSX为2的无偏估计．解：（1）因为2112111122112221111211121111121112111112111211121)1(2)2())(2)(())()()(2)(()()()(2)(()2())((ncccXEXEXEXEcXEXEXEXEcXXXXEcXXcEninininininiiiniiininiiiniiininiiiniiiniii所以当)1(21nc时11221))((niiiXXcE，1121)(niiiXXc为2的无偏估计。（2）因为22222222)()()()()()(cnXcDXEXDScEXEcSXE所以当nc1时222)(cSXE，)(22cSX为2的无偏估计。11.设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为1276.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0设干燥时间总体服从N(，2)；在下面两种情况下，求的置信水平为0.95的置信区间．(1)由以往的经验知=0.6(小时);(2)未知．解：（1）由于=0.6，求的置信区间由公式22,znXznX计算，其中n=9，=0.05，025.02zz1.96，69191iixx，代入计算得的置信水平为0.95的置信区间为（5.608，6.392）.（2）由于未知，求的置信区间由公式)1(),1(22ntnSXntnSX计算，其中n=9，=0.05，)8()8(025.02tt=2.306，69191iixx，33.0)(11212niixxns，代入计算得的置信水平为0.95的置信区间为（5.558，6.442）12.某机器生产圆筒状的金属品，抽出9个样品，测得其直径分别为1.01，0.97，1.03，1.04，0.99，0.98，0.99，1.01，1.03公分，求此机器所生产的产品，平均直径的置信水平为99%的置信区间．假设产品直径近似服从正态分布．解：设X~N(,2),由于2未知，的置信区间为)1(),1(22ntnSXntnSX，其中n=9，=0.01，3554.3)8()8(005.02tt，0056.19191iixx，0006.0)(11212niixxns，代入计算得的置信水平为99%的置信区间为（0.978，1.033）.13.某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取9只进行寿命测试，取得数据如下（单位：小时）：1050，1100，1080，1120，1250，1040，1130，1300，1200．设灯泡寿命服从正态分布，试求当天生产的全部灯泡的平均寿命的置信水平为95%的置信区间．解：设X~N(,2),由于未知，的置信区间为)1(),1(22ntnSXntnSX，其中n=9，=0.05，)8()8(025.02tt=2.306，11.11419191iixx，12811.8136)(11212niixxns代入计算得的置信水平为95%的置信区间为（1071.78，1210.45）.14.假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布，现随机抽取此种香烟8支为一样本，测得其尼古丁平均含量为18.6毫克，样本标准差s=2.4毫克，试求此种香烟尼古丁含量方差的置信水平为0.99的置信区间．解：设X~N(,2),由于未知，2的置信区间为)1()1(,)1()1(2212222nSnnSn其中n=8，=0.01，9892.0)7()1(,2777.20)7()1(2995.02212005.022nn，s=2.4，代入计算得的置信水平为95%的置信区间为（1.99，40.76）.15.从某汽车电池制造厂生产的电池中随机抽取5个，测得其寿命分别为1.9，2.4，3.0，3.5，4.2，求电池寿命方差的置信水平为95%的置信区间，假设电池寿命近似服从正态分布．16.设使用两种治疗严重膀胱疾病的药物，其治疗所需时间（以天计）均服从正态分布．试验数据如下:使用第一种药物5.1,17,142111sxn使用第二种药物8.1,19,162222sxn假设两正态总体的方差相等，求使用两种药物平均治疗时间之差21的置信水平为99%的置信区间．解：设两正态总体分别为X~N(1,12)，Y~N(