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第一章随机事件及其概率习题一1.解(1)设v10为10次射击命中次数,则{5<v10≤8=——随机事件,{v10≤10}——必然事件,{v10>10}——(2)掷一枚骰子试验中,{出现偶数点}——随机事件,{出现i点}(i=1,2,…,6)——随机事件,{出现点数小于7}——必然事件,{点数不小于7}——不可能事件;(3)盒中有2个白球,3个红球,从盒中随机取出3球,则{取出的3个球中含有红球}——必然事件,{取出的3个球中不含红球}——不可能事件.2?说出下列各对事件的关系:(1)|x-a|<δ与x-a≥δ;(2)x>20与x≤20;(3)x>20与x<18;(4)x>20与x≤22;(5)20个产品全是合格产品与20个产品中只有一个废品;(6)20个产品全是合格产品与20个产品中至少有一个废品.解对立事件一定是互不相容事件,但互不相容事件不一定是对立事件.对立事件和互不相容事件的共同特点是事件间没有公共的样本点,但两个对立事件的并(和)等于样本空间,即若A与__A是两个对立事件,则A__A=,A+__A=Ω;而两个互不相容事件的并(和)被样本空间所包含,即若A与B是两个互不相容事件,则AB=,且A+BΩ.(1)由于{x||x-a|<δ=∩{x|x-a≥δ}=,且{x||x-a|<δ=∪{x|x-a≥δ}R,所以事件|x-a|<δ与x-a≥δ是互不相容事件;(2)由于{x|x>20}∩{x|x≤20}=,且{x|x>20}∪{x|x≤20}=R,所以事件x>20与x≤20是对立事件;(3)由于{x|x>20}∩{x|x<18}=,且{x|x>20}∪{x|x<18}=R,所以事件x>20与x<18是互不相容事件;(4){x|x>20}∩{x|x≤22}≠,所以事件x>20与x≤22是相容事件;(5)设事件A={20个产品全是合格品},事件B={20个产品中只有一个废品},显然AB=,A+BΩ={20个产品},所以A与B是互不相容事件;(6)设事件A={20个产品全是合格品},事件B={20个产品中至少有一个废品},显然AB=Φ,A+B=Ω={20个产品},所以A与B是对立事件.3.(1)10只产品中有3只是次品,每次从其中取一只(取出后不放回),直到将3只次品都取出,记录抽取的次数;(2)生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数;(3)测量一汽车通过给定点的速度.解(1)将3只次品都取出,至少要抽取3次,而最多抽取10次即可,故所求样本空间Ω={3,4,…,9,10};(2)最理想的情形是开始生产的10件产品都是正品,故所求样本空间Ω={10,11,12,…};(3)若不考虑汽车的运动方向,则所求样本空间Ω={v|v>0}.若考虑汽车的运动方向,θ表示该运动方向与正东方向之间的夹角,则所求样本空间Ω={(vcosθ,vsinθ)|v>0,0≤θ<2π=.4A表示在三件被检验的仪器中至少有一件为废品,事件B表示所有的仪器为合格品,问事件(1)A∪B;(2)A∩B各表示什么意义?解(1)A∪B=Ω;(2)A∩B=.5A,B,C为三个随机事件,试将下列事件用A,B,C来表示:(1)仅仅A发生;(2)三个事件都发生;(3)至少有两个事件发生;(4)恰有一个事件发生;(5)没有一个事件发生;(6)不多于两个事件发生.解(1)A__B__C;(2)ABC;(3)AB∪AC∪BC;(4)A__B__C∪__AB__C∪__A__BC;(5)__A__B__C;(6)__C.75个白球,3个黑球,从中任取两个球,求取出的两个球都是白球的概率.解随机试验是从8个球中任取2个,样本空间所包含的样本点总数为n=C28.设事件A={取出两个球均为白球},此时,事件A包含的样本点数为k=C25,故P(A)=k/n=C25/C28≈0.357.8200个,其中有6个废品,求:(1)这批产品的废品率;(2)任取3个恰有一个是废品的概率;(3)任取3个全是废品的概率.解随机试验是从200个产品中任取3个,样本空间所包含的样本点总数为n=C3200.设事件Ai={取出的3个产品中含有i个废品},i=1,3,事件B={这批产品的废品率}.若取出的3个产品中含有i个废品,则i个废品必须从6个废品中获得,3-i个合格品必须从194个合格品中获得,从而事件Ai所包含的样本点数为ki=Ci6C3-i194,i=1,3.故P(B)=6/200=0.03,P(A1)=k1/n=C16C2194/C3200≈0.086,P(A3)=k3/n=C36/C3200≈0.00002.9.解将两封信随机地投入四个邮筒,共有4×4=16种投法,即n=16.设{第二个邮筒恰好投入一封信},此时,需将两封信中的一封放入第二个邮筒,共有2种放法,剩下的一封放入其他三个邮筒中的一个,共有3种放法,从而事件A包含的样本点数为k=2×3=6,故P(A)=k/n=6/16=3/8.1010个人,分别佩带着从1号到10号的纪念章,任意选3人记录其纪念章的号码.(1)求最小号码为5的概率;(2)求最大号码为5的概率.解设事件A={最小号码为5},事件B={最大号码为5},则P(A)=C25/C310=1/12,P(B)=C24/C310=1/20.1110本书任意地放在书架上,求其中指定的三本书放在一起的概率.解设事件A={指定的三本书放在一起},将指定的三本书作为一个整体,10本书成为8本,故P(A)=k/n=A33A88/A1010≈0.067.121点到2点之间在某处会面,约定先到者等候10分钟即离去.设想两个人各自随意地在1点到2点之间选一个时刻到达该处,问“甲乙二人能会面”这事件的概率是多少?解记事件A={两人能会面},以x,y分别表示两人到达时刻,则两人能会面的充要条件为|x-y|≤10,A={(x,y):|x-y|≤10}.这是一个几何概率问题,样本空间为Ω={(x,y):0≤x,y≤60},P(A)=L(A)/L(Ω)=602-502/602=11/36.13?解四个人在12个月中任一月出生的可能性是相等的,故基本事件的总数为124.设事件A={四个人生日均不在同一个月},则P(__A)=1-P(A)=1-A412/124=738/1728=41/96.1410件样品,编以号码0~9,随机地抽取1件样品,以B表示“取到号码为偶数的样品”;A1表示“取到号码为1的样品”,A2表示“取到号码为2的样品”,A3表示“取到号码大于7的样品”,分别求A1,A2,A3的概率和A1,A2,A3对B的条件概率,并将条件概率与无条件概率做一比较.解由题设可知:P(A1)=1/10,P(A2)=1/10,P(A3)=2/10=1/5,P(A1|B)=0,P(A2|B)=1/5,P(A3|B)=1/5.15话的概率是多少?如果已知最后一个数是奇数,那么此概率是多少?解(1)设A={三次中至少有一次接通},__A={三次每次都不通},Ai={第i次接通}(i=1,2,3).易知,__A=__A1__A2__A3,故P(__A1)=9/10,P(__A2__A1)=8/9,P(__A3|__A1__A2)=7/8,从而,P(__A)=P(__A1)P(__A2__A1)P(__A3|__A1__A2)=9/10×8/9×7/8=7/10.故P(A)=1-P(__A)=1-7/10=3/10.(2)若已知最后一个数字是奇数,从0到9有十个数,其中五个是奇数,则P(__A1)=4/5,P(__A2__A1)=3/4,P(__A3|__A1__A2)=2/3,从而,P(__A)=P(__A1)P(__A2__A1)P(__A3|__A1__A2)=4/5×3/4×2/3=2/5.故P(A)=1-P(__A)=1-2/5=3/5.16A,B分别表示甲、乙两地出现春旱这一事件.根据以往气象记录知P(A)=0.2,P(B)=0.15,P(AB)=0.08,求.解由题设可知:P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.08/0.15=8/15,P(B|A)=P(AB)/P(A=0.08/0.2=2/5,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.2+0.15-0.08=0.27.17(事件B),问“掷出点数之和不小于10”这个事件A的条件概率是多少?解设事件B={第一粒骰子掷出幺点},事件A={掷出点数之和不小于10},由题设可知,若第一粒掷出幺点,第二粒可能掷出3、4、5、6点;若第二粒掷出3点,第三粒必掷出6点;第二粒掷出4点,第三粒可能为5、6点;第二粒掷出5点,第三粒可能掷出4、5、6点;第二粒掷出6点,第三粒可能掷出3、4、5、6点,则P(A|B)=P(AB)/P(B)=10/36=5/18.1808,乙击中的概率为07,二人同时射击,并假定中靶与否是独立的,求:(1)中靶的概率;(2)甲中、乙不中的概率;(3)甲不中、乙中的概率.解设A、B分别表示甲中靶、乙中靶两事件,则事件A与B独立,又P(A)=0.8,P(B)=0.7,于是,所求概率为(1)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.8+0.7-0.7×0.8=0.94;(2)P(A__B)=P(A)P(__B)=0.8×(1-0.7)=0.24;(3)P(__AB)=P(__A)P(B)=(1-0.8)×0.7=0.14.19从厂外打电话给这个工厂某一车间要由工厂的总机转进,若总机打通的概率为0.6,车间的分机占线的概率为0.3,假定二者是独立的,求从厂外向该车间打电话能打通的概率.解设A,B分别表示从厂外打电话总机打通、分机打通两事件,则事件A,B独立,又P(A)=0.6,P(B)=1-0.3=0.7,所求概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.7=0.42.20A,B的概率均不为0,证明事件A与B独立及互不相容不会同时成立.证若P(A)>0,P(B)>0,则有(1)因A,B两事件相互独立,且P(A)>0,P(B)>0,有P(AB)=P(A),即A、B不互不相容;(2)因AB=,故P(AB)=P()=0,而P(A)>0,P(B)>0,故A与B不相互独立.211,2,3和“1,2,3”,令Ai={随机抽出一球,球上有数字i}(i=1,2,3).试证明A1,A2,A3两两独立而不相互独立.证由题设可知P(A1)=1/2,P(A2)=1/2,P(A3)=1/2,P(A1A2)=1/4=1/2×1/2,P(A1A3)=1/4=1/2×1/2,P(A2A3)=1/4=1/2×1/2.以上等式说明A1,A2,A3两两独立.但P(A1A2A3)=1/4≠1/2×1/2×1/2=P(A1)P(A2)P(A3).可见事件A1A2A3不相互独立.222%,3%,5%,3%,假定各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率.解设Ai={第i道工序出次品},i=1,2,3,4.又设A={零件为次品},则有A=A1∪A2∪A3∪A4.由题知,A1,A2,A3,A4相互独立,__A1,__A2,__A3,__A4P(A)=P(A1∪A2∪A3∪A4)=1-P(________________________4321AAAA)=1-P(__A1__A2__A3__A4)=1-P(__A1)P(__A2)P(__A3)P(__A4=1-0.98×0.97×0.95×0.97≈0.124.23B={至少有一枚骰子掷出1},A={三枚骰子掷出的点数中至少有两枚一样},问A,B是否独立?解考虑P(A|__B),若__B发生,则三枚骰子都不出现幺点,那么,它们都只有5种可能性(2,3,4,5,6),比不知__B发生时可能取的点数1,2,3,4,5,6少了一个.从5个数字取3个(可重复取),其中有两个一样的可能性,应比6个数字中取3个时,有两个一样的可能性要大些,即P(A)<P(A|__B).由此推出P(A)>P(A|B),故A,B不独立.2409,现每穴种5粒,问“恰有3粒出芽”
本文标题:概率论第一章
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