概率论第二章习题参考解答

13概率论与数理统计习题参考解答（习题二）1.用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果.写出它的概率函数和分布函数.解:假设ξ=1对应于正面朝上,ξ=0对应于反面朝上.则P(ξ=0)=P(ξ=1)=0.5.其分布函数为11105.000)(xxxxF2.如果ξ服从0-1分布,又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍,写出ξ的分布律和分布函数.解:根据题意有P(ξ=1)=2P(ξ=0)(1)并由概率分布的性质知P(ξ=0)+P(ξ=1)=1(2)将(1)代入(2)得3P(ξ=0)=1,即P(ξ=0)=1/3再由(1)式得P(ξ=1)=2/3因此分布律由下表所示ξ01P1/32/3而分布函数为11103/100)(xxxxF3.如果ξ的概率函数为P{ξ=a}=1,则称ξ服从退化分布.写出它的分布函数F(x),画出F(x)的图形.解:axaxxF10)(,它的图形为ax10F(x)4.一批产品分一,二,三级,其中一级品是二级品的两倍,三级品是二级品的一半,从这批产品中随机地抽取一个检验质量,用随机变量描述检验的可能结果,写出它的概率函数.14解设ξ取值1,2,3代表取到的产品为一,二,三级,则根据题意有P(ξ=1)=2P(ξ=2)(1)P(ξ=3)=P(ξ=2)/2(2)由概率论性质可知P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1(3)(1),(2)代入(3)得:2P(ξ=2)+P(ξ=2)+P(ξ=2)/2=1解得P(ξ=2)=2/7,再代回到(1)和(2)得P(ξ=1)=4/7,P(ξ=3)=1/7则概率函数为)3,2,1(271)(3iiPi或列表如下:ξ123P4/72/71/75.一批产品20个,其中有5个次品,从这批产品中随意抽取4个,求这4个中的次品数ξ的分布律.解:基本事件总数为420Cn,有利于事件{ξ=i}(i=0,1,2,3,4)的基本事件数为iiiCCn4155,则001.01731911718192051234)4(031.0171952121545171819201234)3(2167.01718191415231212141545171819201234)2(4696.01718191314151231314155171819201234)1(2817.01719137123412131415171819201234)0(42045420115354202152542031515420415CCPCCCPCCCPCCCPCCPξ01234P0.28170.46960.21670.0310.0016.一批产品包括10件正品,3件次品,有放回地抽取,每次一件,直到取得正品为止,假定每件产品被取到的机会相同,求抽取次数ξ的概率函数.解:每次抽到正品的概率相同,均为p=10/13=0.7692,则每次抽到次品的概率q=1-p=0.2308则ξ服从相应的几何分布,即有),3,2,1(1331310)(1ipqiPii7.上题中如果每次取出一件产品后,总以一件正品放回去,直到取得正品为止,求抽取次数ξ的分布律.15解:这样抽取次数就是有限的,因为总共只有3件次品,即使前面三次都抽到次品,第四次抽时次品已经全部代换为正品,因此必然抽到正品,这样ξ的取值为1,2,3,4.不难算出,0027.0131132133)4(0328.01312132133)3(1953.01311133)2(7692.01310)1(PPPPξ的分布律如下表所示:ξ1234P0.76920.19530.03280.00278.自动生产线在调整之后出现废品的概率为p,当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整,求在两次调整之间生产的合格品数ξ的概率函数.解:事件ξ=i说明生产了i次正品后第i+1次出现废品,这是i+1个独立事件的交(1次发生i次不发生,因此有P(ξ=i)=p(1-p)i,(i=0,1,2,…)9.已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2四个值,相应概率依次为cccc167,85,43,21,确定常数c并计算P{ξ1|ξ≠0}.解:根据概率函数的性质有1}2{}1{}0{}1{PPPP即1167854321cccc得2.3125163716710128167854321c设事件A为ξ1,B为ξ≠0,(注:如果熟练也可以不这样设)则32.0258167852121}2{}1{}1{}1{)0{}01{)()(}0|1{PPPPPPBPABPP10.写出第4题及第9题中各随机变量的分布函数.解:第4题:1631327/6217/410)(xxxxxF第9题:当x-1时:F(x)=P(ξ≤x)=0当-1≤x0时:F(x)=P(ξ≤x)=P(ξ=-1)=2162.03125.22121c当0≤x1时:F(x)=P(ξ≤x)=P(ξ=-1)+P(ξ=0)=5405.03125.243214321cc当1≤x2时:F(x)=P(ξ≤x)=P(ξ=-1)+P(ξ=0)+P(ξ=1)=8108.03125.2854321854321ccc当x≥2时:F(x)=P(ξ≤x)=1综上所述,最后得:21218108.0105405.0012162.010)(xxxxxxF11.已知ξ~其它01021)(xxx,求ξ的分布函数F(x),画出F(x)的图形.解:当x0时:F(x)=0;当0≤x1时:xxxtxtdttdttdtdttxFxxx00012112121210)()(12102100当x≥1时:F(x)=1综上所述,最后得111000)(xxxxxF图形为10xF(x)11712.已知ξ~其它0102)(xxx,求P{ξ≤0.5};P(ξ=0.5);F(x).解:25.005.020)(}5.0{225.0025.0005,0|xxdxdxdxxP,因ξ为连续型随机变量,因此取任何点的概率均为零,所以P{ξ=0.5}=0,求F(x):当x0时,F(x)=0当0≤x1时,20200|20)()(xttdtdtdttxFxxx当x≥1时,F(x)=1综上所述,最后得:111000)(2xxxxxF13.某型号电子管,其寿命(以小时计)为一随机变量,概率密度其它0100100)(2xxx,某一个电子设备内配有3个这样的电子管,求电子管使用150小时都不需要更换的概率.解:先求一个电子管使用150小时以上的概率P(ξ≥150)为:3215010012100100)()150(|150121502150xdxxdxxP则3个这样的电子管构成贝努里独立试验概型,试验三次发生三次的概率为2963.027832)3(33p14.设连续型随机变量ξ的分布函数为:111000)(2xxAxxxF求系数A;P(0.3ξ0.7);概率密度φ(x).解:因ξ是连续型随机变量,因此F(x)也必是连续曲线,则其在第二段(0,1)区间的曲线必能和第三段(1,+∞)的曲线接上,则必有A×12=1,即A=1.则分布函数为111000)(2xxxxxFP(0.3ξ0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.49-0.09=0.418概率密度φ(x)为其它0102)()(xxxFx15.服从柯西分布的随机变量ξ的分布函数是F(x)=A+Barctgx,求常数A,B;P{|ξ|1}以及概率密度φ(x).解:由F(-∞)=0,得A+Barctg(-∞)=02BA(1)再由F(+∞)=1,得12)arctg(BABA(2)综和(1),(2)两式解得1,21BA即xxFarctg121)(5.0214411111)1()1()11()1|(|arctgarctgFFPP2111)()(xxFx16.服从拉普拉斯分布的随机变量ξ的概率密度||)(xAex,求系数A及分布函数F(x).解:这实际上是一个分段函数,φ(x)可重新写为00)(xAexAexxx根据性质1)(dxx,又因φ(x)为偶函数,因此有1222)(|00AAedxAedxxxx,则有A=1/2因此02102121)(||xexeexxxx.求分布函数F(x).当x0时,有xxtxtxeedtedttxF212121)()(19当x≥0时,有xxxtxttxeeedtedtedttxF21121212121212121)()(000综上所述,最后得0211021)(xexexFxx17.已知其它01031212)(~2xxxx,计算P{ξ≤0.2|0.1ξ≤0.5}解:设事件A={ξ≤0.2},B={0.1ξ≤0.5},则要计算的是条件概率P(A|B),而)()()|(BPABPBAP,而事件AB={ξ≤0.2}∩{0.1ξ≤0.5}={0.1ξ≤0.2}因此有148.03.006.0004.06.024.0032.0)1.0301.06001.04()2.0304.06008.04()364(d)31212()(}2.01.0{)(2.01.0232.01.022.01.0xxxxxxdxxPABP256.03.006.0004.05.15.15.0)1.0301.06001.04()5.0325.06125.04()364(d)31212()(}5.01.0{)(5.01.0235.01.025.01.0xxxxxxdxxPBP最后得5781.0256.0148.0)()()|(}5.01.0|2.0{BPABPBAPP18.已知xxcex2)(~,确定常数c.解:首先证明普阿松广义积分xexd2,因为函数2xe并不存在原函数,因此需要一技巧.令xeIxd2,则yxexeIyxxddd)(22222作极坐标代换,令sin,cosryrx,则积分区间为全平面,即θ从0积到2π,r从0积20到+∞,且ddddrryx,因此有0020202222)d(212rrrererdredI,所以I=π.现确定常数c,由性质1)(dxx,1dd41)21(414141212222cedxecexcexcexxxxx得421ec19.已知其它0)0()(~axecxx,求常数c及P{a-1ξ≤