概率论讲义第三章多维随机变量及其分布

40第三章多维随机变量及其分布在很多随机现象中,只用一个随机变量来描述往往不够,而要涉及到多个随机变量.如炮弹命中点的位置要用一对随机变量(横坐标与纵坐标)来描述,正弦交流电压要用振幅、频率和相位三个随机变量来描述等等.要研究这些随机变量之间的联系,就应当同时考虑若干个随机变量即多维随机变量及其取值规律——多维分布.本章将介绍有关这方面的内容,为简明起见,主要介绍二维情形,有关内容可以类推到多于二维的情形.第一节二维随机变量一、二维随机变量的分布函数设E是一个随机试验,它的样本空间是S.设X、Y是定义在S上的随机变量,则由它们构成的一个向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.一般地,(X,Y)的性质不仅与X有关,与Y有关,而且还依赖于X、Y的相互关系,因此必须把(X,Y)作为一个整体来研究.首先引入(X,Y)的分布函数的概念.定义设(X,Y)为二维随机变量,对于任意实数x、y,二元函数F(x,y)=P{(Xx)∩(Yy)}=P{Xx,Yy}称为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和y的联合分布函数.分布函数F(x,y)表示事件(Xx)与事件(Yy)同时发生的概率.如果把(X,Y)看成平面上具有随机坐标(X,Y)的点,则分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在平面上的以(x,y)为顶点而位于该点左下方的无限矩形内的概率..由上面的几何解释,容易得到随机点(X,Y)落在矩形区域{x1Xx2,y1Yy2}的概率为P{x1Xx2,y1Yy2}=F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)(1)与二元函数类似,二元分布函数F(x,y)也具有如下一些性质:1F(x,y)是变量x和y的单调不减函数,即当x1x2时,F(x1,y)F(x2,y);当y1y2时,F(x,y1)F(x,y2).20F(x,y)1,且F(,y)=0,F(x,)=0,F(,)=0,F(+,+)=1.3F(x,y)关于x和y都是右连续的,即F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y).4对任意的(x1,y1)、(x2,y2),x1x2,y1y2,有F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)0.注:二元分布函数具有性质1~4,其逆也成立(2中0F(x,y)1可去),即若二元实值函数F(x,y)(xR,yR)满足1~4,则F(x,y)必是某二维随机变量的(X,Y)的分布函数.其中4是必不可少的,即它不能由1~3推出(除去0F(x,y)1).二、二维离散型随机变量如果二维随机变量(X,Y)的所有可能取的值是有限对或可列无限多对,则称(X,Y)是二维离散型随机变量.设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为(xi,yj)(i,j=1,2,3,…).记P{X=xi,Y=yj}=pij(i,j=1,2,3,…)则由概率定义有pij0;111ijijp.我们称P{X=xi,Y=yj}=pij(i,j=1,2,3,…)为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律(概率分布)或随机变量X和Y的联合分布律,(X,Y)的分布律也可用表格表示.其分布函数为),(yxFxxyyjiijyYxXP},{=xxyyijijp41这里xxyyij表示对一切xix,yjy的那些指标i、j求和.例1一个口袋中有三个球,依次标有1、2、2,从中任取一个,不放回袋中,再任取一个.设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以X、Y分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字,求X、Y的联合分布律与分布函数..解:(X,Y)的可能取值为(1,2)、(2,1)、(2,2).P{X=1,Y=2}=P{X=1}P{Y=2/X=1}=312231.同理,有P{X=2,Y=1}=31,P{X=2,Y=2}=31.即(X,Y)的分布律如右表所示.当x1,或y1时,F{x,y}=0;当1x2,1y2时,F{x,y}=0;当1x2,y2时,F{x,y}=1211pp31;当x2,1y2时,F{x,y}=2111pp31;当x2,y2时,F{x,y}=1.所以,(X,Y)的分布函数为.2,2,1,21,22,21,31,21,2111,0),(yxyxyxyxyxyxF或或或三、二维连续型随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F{x,y},若存在非负函数f(x,y),使对任意的x、y有yxdudvvufyxF),(),(，则称(X,Y)为连续型的二维随机变量,f(x,y)称为二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度,或称随机变量X、Y的联合概率密度.概率密度f(x,y)具有以下性质:1f(x,y)0;21),(),(Fdxdyyxf3若f(x,y)在点(x,y)处连续,则有),(),(2yxfyxyxF4设G是xOy平面上的一个区域,则点(X,Y)落在G内的概率为GdxdyyxfGYXP),(}),{((2)例2设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为.,0,0,0,2),()(其它yxAeyxfyx求:(1)系数A;(2)分布函数F(x,y);(3)概率P{(X,Y)D},其中D:x0,y0,x+y1.解:(1)由1),(dxdyyxf,得21A.(2)yxyxdxdyeyxF)(),(=,,0,0,0,00)(其它yxdxdyeyxyx=.,0,0,0),1)(1(其它yxeeyx42(3)edxdyeedxdxdyyxfYXPxyxD21),()},{(1010.例3设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为,,0,20,10,3),(2其它yxxyxyxf,求P{YX}.解:P{YX}=2417)3(),(2210xxydyxyxdxdxdyyxf.以上关于二维随机变量的讨论,不难推广到n(n2)维随机变量的情形.一般地,设E是一个随机试验,它的样本空间为S,设X1、X2、…、Xn是定义在S上的随机变量,则由它们构成的一个n维向量(X1,X2,…,Xn)称为n维随机向量或n维随机变量.对任意n个实数x1、x2、…、xn,n元函数F(x1,x2,…,xn)=P{X1x1,X2x2,…,Xnxn}称为n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数或随机变量(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数,它具有与二元分布函数类似的性质.第二节边缘分布设(X,Y)是二维随机变量,其分布函数为F(x,y),事件{Xx}即为{Xx,Y+},从而由(X,Y)的分布函数可定出X的分布函数,记为FX(x).FX(x)=P{Xx}=P{Xx,Y+}=F(x,+)=),(limyxFy.我们称FX(x)为关于X的边缘分布函数.类似的可定义关于Y的边缘分布函数为FY(y)=P{Yy}=P{X+,Yy}=F(+,y)=),(limyxFx.一、离散型设(X,Y)为二维离散型随机变量,其分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij(i,j=1,2,3,…),则xxjijXipxFxF1),()(,yyiijYipyFyF1),()(.从而X与Y的分布律分别为1}{jijipxXP,i=1,2,…;1}{iijjpyYP,j=1,2,…;记ip1}{jijipxXP,i=1,2,…;jp1}{iijjpyYP,j=1,2,….分别称pi和pj为(X,Y)关于X与Y的边缘分布律.注:1边缘分布律具有一维分布律的一般性质.2联合分布律唯一决定边缘分布律,反之不然.例1一袋中装有3只黑球和2只白球,分别采用有放回与不放回摸球两种方式.若设;,0,,1第一次摸出黑球第一次摸出白球X.,0,,1第二次摸出黑球第二次摸出白球Y求(X,Y)的联合分布律及关于X与Y的边缘分布律.解:有放回不放回边缘分布律经常写在联合分布律的边缘,这就是为什么称为边缘分布律的缘由.43二、连续型设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),由xXdxdyyxfxFxF]),([),()(;yYdydxyxfyFyF]),([),()(.知X与Y都是连续型随机变量.它们的概率密度分别为dyyxfxfX),()(;dxyxfyfY),()(.称fX(x)与fY(y)分别为(X,Y)关于X与Y的边缘概率密度.例2设D是平面上的有界区域,其面积为A,若二维随机变量(X,Y)的概率密度为,,0,),(,1),(其它DyxAyxf则称(X,Y)在D上服从均匀分布.现(X,Y)在以原点为中心、1为半径的圆域上服从均匀分布,求边缘概率密度.解:由1),(dxdyyxf,得A=.当x1时,dyyxfxfX),()(21112122xdyxx;当x1时,fX(x)=0,即.1,0,1,12)(2xxxxfX同理可得,.1,0,1,12)(2yyyyfY例3设二维随机变量(X,Y)的概率密度为2222212121212221)())((2)()1(21exp121),(yyxxyxfyx.其中1、2、1、2、都是常数,且10,20,11.我们称(X,Y)为服从参数为1、2、1、2、的二维正态分布,试求二维正态随机变量的边缘概率密度.解:令m=222221212121)())((2)(yyxx2121212122121221212222)()()())((2)(xxxyxy2121221122)()1(xxy.所以,dyyxfxfX),()(=dyem)1(22212121dyeexyx2112222121)1(212)(221121.令1122211xyt,则dtdy221,从而,22222)1(211212211222dtedyetxy.44所以,21212)(121)(xXexf(x).同理可得,22222)(221)(yYeyf(y).表明,),(~211NX,),(~222NY.此例说明,二维正态随机变量(X,Y)中的X、Y都服从正态分布,并且与参数无关.所以对于确定的1、2、1、2而取不同的,对应了不同的二维正态分布,但是其中每个随机变量都分别服从相同的正态分布.因此,仅由关于X和Y的边缘概率密度(分布),一般不能确定X和Y的联合概率密度(分布).第四节相互独立的随机变量我们知道,两事件A、B相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B)由此我们引进随机变量相互独立的定义.定义设F(x,y)及FX(x)、FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数