模糊数学的应用

本科生论文模糊数学的应用指导老师：作者：中国矿业大学二零一一年六月模糊数学的应用摘要：二十世纪六十年代，产生了模糊数学这门新兴学科。模糊数学作为一个新兴的数学分支，使过去那些与数学毫不相关或关系不大的学科（如生物学、心理学、语言学、社会科学等）都有可能用定量化和数学化加以描述和处理，从而显示了强大的生命力和渗透力，使数学的应用范围大大扩展。模糊数学自身的理论研究进展迅速；模糊数学目前在自动控制技术领域仍然得到最广泛的应用，并在计算机仿真技术、多媒体辨识等领域的应用取得突破性进展；模糊聚类分析理论和模糊综合评判原理等更多地被应用于经济管理、环境科学以及医药、生物、农业、文体等领域，并取得很好效果。关键字：模糊数学；应用；模糊评判；一、模糊数学的简介（一）发展历史模糊数学是运用数学方法研究和处理模糊性现象的一门数学新分支。它以“模糊集合”论为基础。它提供了一种处理不肯定性和不精确性问题的新方法，是描述人脑思维处理模糊信息的有力工具。模糊数学由美国控制论专家L.A.扎德（L.A.Zadeh,1921--）教授所创立。他于1965年发表了题为《模糊集合论》（《FuzzySets》）的论文，从而宣告模糊数学的诞生。L.A.扎德教授提出了“模糊集合论”。在此基础上，现在已形成一个模糊数学体系。模糊数学产生的直接动力，与系统科学的发展有着密切的关系。在多变量、非线性、时变的大系统中，复杂性与精确性形成了尖锐的矛盾，它给描述模糊系统提供了有力的工具。L.A.扎德教授于1975年所发表的长篇连载论著《语言变量的概念及其在近似推理中的应用》，提出了语言变量的概念并探索了它的含义。模糊语言的概念是模糊集合理论中最重要的发展之一，语言变量的概念是模糊语言理论的重要方面。语言概率及其计算、模糊逻辑及近似推理则可以当作语言变量的应用来处理。人类语言表达主客观模糊性的能力特别引人注目，或许从研究模糊语言入手就能把握住主客观的模糊性、找出处理这些模糊性的方法。有人预言，这一理论和方法将对控制理论、人工智能等作出重要贡献。模糊数学诞生至今仅有22年历史，然而它发展迅速、应用广泛。它涉及纯粹数学、应用数学、自然科学、人文科学和管理科学等方面。在图象识别、人工智能、自动控制、信息处理、经济学、心理学、社会学、生态学、语言学、管理科学、医疗诊断、哲学研究等领域中，都得到广泛应用。把模糊数学理论应用于决策研究，形成了模糊决策技术。只要经过仔细深入研究就会发现，在多数情况下，决策目标与约束条件均带有一定的模糊性，对复杂大系统的决策过程尤其是如此。在这种情况下，运用模糊决策技术，会显得更加自然，也将会获得更加良好的效果。（二）应用前景模糊数学是研究现实中许多界限不分明问题的一种数学工具，其基本概念之一是模糊集合。利用模糊数学和模糊逻辑，能很好地处理各种模糊问题。模式识别是计算机应用的重要领域之一。人脑能在很低的准确性下有效地处理复杂问题。如计算机使用模糊数学，便能大大提高模式识别能力，可模拟人类神经系统的活动。在工业控制领域中，应用模糊数学，可使空调器的温度控制更为合理，洗衣机可节电、节水、提高效率。在现代社会的大系统管理中，运用模糊数学的方法，有可能形成更加有效的决策。模糊数学这种相当新的数学方法和思想方法，虽有待于不断完善，但其应用前景却非常广阔。二、模糊数学内容简介（一）模糊数学的基本概念1.模糊集（Fuzzyset）定义1设X是论域，称映射A：X→[0,1]为X上的模糊集合（Fuzzyset）简称F集，记为A。称A(x)为元素x相对于F集的隶属度。称A(·)为F集A的隶属函数。（1）模糊集合的表示：}u,.....,u,u{Un21，)u(A称为元素u属于模糊集A的隶属度；则模糊集可以表示为：nn2211u)u(A....u)u(Au)u(AA，或)}u(A),.....,u(A),u(A{An21，))}u(A,u()),.....,u(A,u()),u(A,u{(Ann2211。（2）模糊集合的运算：)}u(A),.....,u(A),u(A{An21，)}u(B),.....,u(B),u(B{Bn21，并集：)}u(B)u(A),.....,u(B)u(A),u(B)u(A{BAnn2211，交集：)}u(B)u(A),.....,u(B)u(A),u(B)u(A{BAnn2211，补集：)}u(A1),.....,u(A1),u(A1{An21c，包含：BA)u(B)u(A,Uu，则有有若。2.幂集定义2称论域X上的F集的全体集合]1,0[X:A|AF(X)为X上的F-幂集。3.模糊集的-截集定义3已知U上模糊子集)Uu)(u(Au],1,0[U:A对]1,0[，则称})u(A,Uuu{A为模糊集A的-截集；称})u(A,Uuu{A为模糊集A的-强截集；称为A、A的置信水平或阈值。4.三角范数、反三角范数定义4称二元函数T：[0,1]*[0,1][0,1]为三角模或三角范数，简称T-范数，满足以下条件：若a，b，c，d∈[0,1]，有：交换律：T(a，b)=T(b，a)结合律：T(T(a，b)，c)=T(a，T(b，c))单调性：a≤c，b≤d时，T(a，b)≤T(c，d)边界条件：T(a，1)=a，T(0，a)=0定义5称二元函数S：[0,1]*[0,1][0,1]为反三角范数，简称S-范数，满足以下条件：若a，b，c，d∈[0,1]，有：交换律：S(a，b)=S(b，a)结合律：S(S(a，b)，c)=S(a，S(b，c))单调性：a≤c，b≤d时，S(a，b)≤S(c，d)边界条件：S(a，1)=1，S(0，a)=a（二）模糊数学的基本定理1.模糊截积定义6已知U上模糊子集)Uu)(u(Au],1,0[U:A，对]1,0[，A也是U上模糊集，其隶属函数为：)Uu(),u(A)u)(A(；称为A为与A的模糊截积。2.分解定理1已知模糊子集)U(FA，则AA]1,0[。推论1：对,Uu}Au],1,0[{)u(A。3.分解定理2已知模糊子集)U(FA，则AA]1,0[。推论2：对,Uu}Au],1,0[{)u(A。三、模糊数学的应用（一）模糊聚类分析的在数据挖掘的应用实例例：设某地区设置有11个雨量站，其分布图见图5-1，10年来各雨量站所测得的年降雨量列入表5-1中。现因经费问题，希望撤销几个雨量站，问撤销那些雨量站，而不会太多的减少降雨信息？2x7x1x4x5x10x6x8x11x3x9x2x7x1x4x5x10x6x8x11x3x9x图5-1表5-1年降雨量列入年序号1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12763241594132922583113031752433202251287349344310454285451402307470319243329056347950222122032041123242462322432812673102733152853273525291311502388330410352267603290292646615822417816420350232024027835072583274324013613813014134021994218453365357452384420482228360316252915827141030828341020117943034218510324406235520442520358343251282371应该撤销那些雨量站，涉及雨量站的分布，地形，地貌，人员，设备等众多因素。我们仅考虑尽可能地减少降雨信息问题。一个自然的想法是就10年来各雨量站所获得的降雨信息之间的相似性，对全部雨量站进行分类，撤去“同类”（所获降雨信息十分相似）的雨量站中“多余”的站。问题求解假设为使问题简化，特作如下假设（1）每个观测站具有同等规模及仪器设备；（2）每个观测站的经费开支均等；具有相同的被裁可能性。分析：对上述撤销观测站的问题用基于模糊等价矩阵的模糊聚类方法进行分析，原始数据如上。求解步骤1.利用相关系数法，构造模糊相似关系矩阵1111)r(，其中ijr＝21n1kn1k2jjk2iikn1kjjkiik])xx()xx([|)xx(||)xx(|其中ix＝101kikx101，i＝1，2，…,11，jx＝n1kjkxn1，j＝1，2，…,11。用C#语言编程计算出模糊相似关系矩阵1111)r(，得到模糊相似矩阵R。R=1.0000.6880.4850.9940.7190.5110.5840.6070.5680.5720.7120.6881.0000.4870.6780.5870.5960.6860.6390.6420.6170.5730.4850.4871.0000.4670.4890.6670.5120.4990.9620.4750.4310.9940.6780.4671.0000.6760.4550.5260.5420.5510.5100.6710.7190.5870.4890.6761.0000.7260.8430.8610.5710.8550.9950.5110.5960.6670.4550.7261.0000.9220.9080.6970.8990.7020.5840.6860.5120.5260.8430.9221.0000.9920.5850.9890.8280.6070.6390.4990.5420.8610.9080.9921.0000.5620.9960.8440.5680.6420.9620.5510.5710.6970.5850.5621.0000.5420.5280.5720.6170.4750.5100.8550.8990.9890.9960.5421.0000.8390.7120.5730.4310.6710.9950.7020.8280.8440.5280.8391.000对这个模糊相似矩阵用平方法作传递闭包运算，求442R:RR即t（R）＝4R=*R。注：R是对称矩阵，故只写出它的下三角矩阵。1688.0697.0688.0719.0719.0719.0719.0697.0719.0719.01697.0688.0688.0688.0688.0688.0688.0688.0688.01676.0697.0697.0697.0697.0962.0697.0697.01719.0719.0719.0719.0697.0719.0719.01861.0861.0861.0697.0861.0994.01922.0922.0697.0995.0861.01992.0697.0996.0861.01697.0996.0861.01697.0697.01861.0000.1R*取＝0.996，则996.0R=1000000000001000000000001000000000001000000000001000000000001000000000001001000000001010000000001000000001101000000000001故第二行（列），第四行（列）完全一致，故42x,x同属一类，所以此时可以将观测站分为9类{42x,x，5x},{1x}，{3x}，{6x},{7x},{8x}，{9x}，{10x},{11x}这表明，若只裁减一个观测站，可以裁42x,x中的一个。若要裁掉更多的观测站，则要降低置信水平，对不同的作同样分析，得到＝0.995时，可分为8类，