横街中学南浔区2014年初中数学原创题比赛

2014年初中数学原创题命题人：南浔区横街中学章红平一、选择题10.题目内容：如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水.在这则乌鸦喝水的故事中，设从乌鸦看到瓶的那刻起向后的时间为x，瓶中水位的高度为y，如图所示的图象中最符合故事情景的是（）（1）考点分析：数形结合，变量的变化趋势。（2）命题的思路意图：强调数形结合思想。（3）解答过程：D二、填空题16.题目内容:如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°.顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…….则四边形A2B2C2D2的周长是________；四边形A2013B2013C2013D2013的周长是________．（1）考点分析：锐角三角函数，周长，规律。（2）命题的思路意图：今年学生对锐角三角函数知识不太重视，故应加强。（3）解答过程：设四边形AnBnCnDn的周长为Cn，则由题意可求得C1＝10＋10根号3，C2＝20，C3＝5＋5根号3，C4＝10，C5＝（5＋5根号3）除以2，C6＝5……，则C2013＝（5＋5根号3）除以21005.三、解答题22．（本题10分）题目内容：据报道八月十三日国民党立委洪秀柱开记者会拿出一份谁都没有看过的洗钱资料就是瑞士国际反洗钱中心要求协助清查不明存款者身份的数据、里面是七亿台币从此才引爆一连串陈水扁家族八年执政中大大小小的无所不贪的贪污弊案。据不完全统计总价值300亿之多。根据以上信息解决下列问题：（1）如果将这笔钱按一年定期存入银行，到期后支取一半用来投资，剩下的及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，不考虑税款，到期后得本息和198亿元。求这种存款方式的年利率。（2）如果将这笔钱投资A、B两种产品，购买甲种原料360千克，乙种原料290千克供选用，计划生产A、B两种产品共50件。已知生产一件A产品需用甲种原料9千克，乙种原料3千克；生产一件B产品需用甲种原料4千克，乙种原料10千克。按要求安排A、B两种产品的生产件数有哪几种方案？请你设计出来。（3）在第（2）问的情况下，已知生产一件A产品可获利润7000元，生产一件B产品可获利润12000元，设生产A、B两种产品获总利润为y元，其中一种的生产件数为x，写出y与x之间的函数关系式，并利用函数性质说明（2）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？（1）考点分析：本题综合测试了列方程解应用题；列不等式（组）解应用题；列函数解应用题。（2）命题的思路意图：该题引用陈水扁事件引出三个实际应用题，并小结了实际应用题的三种常见题型：列方程解应用题；列不等式（组）解应用题；列函数解应用题。表现了实际应用题的变化性。（3）解答过程：解：（1）设这种存款方式的年利率为x，根据题意得[300（1+x）-150](1+x)=198整理得：50x2+75x-8=0解得x1=1/10x2=-8/5（舍去）答：这种存款方式的年利率为10％。（2）设安排A种产品x件，则有{9x+4（50-x）≤360{3x+10（50-x）≤290解得30≤x≤32∵x是整数，∴可取30、31、32；生产方案有三种：A种30件，B种20件；A种31件，B种19件；A种32件，B种18件。（3）y=-5000x+600000(30≤x≤32)∵此一次函数y随x增大而减小，∴当x=30时，y取最大值450000。23．（本题8分）题目内容：先阅读，再填空解题：(1)方程：x2-x-12=0的根是：x1=-3,x2=4，则x1+x2=1，x1·x2=－12；(2)方程2x2-7x+3=0的根是：x1=1/2,x2=3，则x1+x2=________，x1·x2=______；(3)方程x2-3x+1=0的根是：x1=________,x2=________.则x1+x2=________，x1·x2=________；根据以上（1)(2)(3)你能否猜出：如果关于x的一元二次方程mx2+nx+p=0（m≠0且m、n、p为常数）的两根为x1、x2，那么x1+x2、x1·x2与系数m、n、p有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由。（1）考点分析：韦达定理。（2）命题的思路意图：该题主要考查韦达定理，虽说韦达定理已经从教材中删去，但我们都知道韦达定理确实能轻松解决许许多多的代数问题，在这里作为一个阅读理解题出现可以让学生适当了解一下也不失为一道好题目。（3）解答过程：x1+x2=7/2，x1·x2=3/2。x1=（3+√5）/2，x2=（3-√5）/2。x1+x2=3/2，x1·x2=1。猜想：x1+x2、x1·x2与系数m、n、p的关系为：x1+x2=-n/m，x1·x2=m/p。证明：根据求根公式x1=（-n+√n2-4mp)/2m，x2=（-n-√n2-4mp)/2m。x1+x2=（-n+√n2-4mp)/2m+（-n-√n2-4mp)/2m=-n/2m+√n2-4mp/2m-n/2m-√n2-4mp=-n/2m×2=-n/mx1·x2=（-n+√n2-4mp)/2m×（-n-√n2-4mp)/2m=-n/2m×(-n/2m)-n/2m×(-√n2-4mp/2m)+√n2-4mp/2m×(-√n2-4mp/2m)+√n2-4mp/2m×(-n/2m)=n2/4m2+n×√n2-4mp/4m2-(n2-4mp)/4m2-n×√n2-4mp/4m2=(n2-n2+4mp)/4m2=m/p24．（本题12分）题目内容：如图，抛物线y=x2-2x-3，与x轴从左至右交于点M、N，与y轴交于点P，顶点为点G。则：（1）在第四像限是否存在一个点A，使∠PAN=900，存在_______个这样的A点。（2）在（1）的条件下，如果PA=√2，那么四边形OPAN的面积等于多少？（3）在（1）的条件下，如果∠ONA=600,那么四边形OPAN的面积等于多少？在抛物线上是否存在一个点B，使三角形MNB的面积等于四边形OPGN的面积的两倍？（1）考点分析：三种求面积的方法：直接利用面积公式求；分块求面积；补形求面积（2）命题的思路意图：该题借用函数背景引出三种求面积的方法：直接利用面积公式求；分块求面积；补形求面积并且兼顾了函数中常见的有关面积的存在性探讨。其中第一小问是为后面几小问打下伏笔。（3）解答过程：(1)无数个(2)连结PN,令x=0,y=02-2×0-3=-3，所以OP=3,令y=0,x2-2x-3=0,(x-3)(x+1)=0,x1=3,x2=-1.所以ON=3.又因为PA=√2，根据勾股定理得NA=4所以SOPAN=3×3/2+√2×4/2=9/2+2√2延长NA与y轴交于点B，因为∠ONA=600,所以∠PBA=300，得NB=6根据勾股定理得OB=3√3，PB=3√3-3。又因为tan600=√3，得BA=9/2-3√3/2，PA=3√3/2-3/2所以SOPAN=3×3√3/2-（3√3/2-3/2）（9/2-3√3/2）/2=18√3/4-27/4根据SMNB=SOPGN列出方程：设三角形MNB的高为h得4h/2=2×(3+4)×1/2+2×2×4/2h=15/2代入15/2=x2-2x-3x1=(2+√46)/2,x2=(2-√46)/2答：存在，点B的坐标为（（2+√46)/2，15/2），（(2-√46)/2，15/2）。数学命题双向细目表初中数学原创题命题比赛双向细目表（样张）题序知识点数学思想方法、数学活动经验、数学能力、考试要求题型分值难度估计试题来源abc10数形结合，变量的变化趋势。数形结合思想。b选择题3分0.71原中考题改编16锐角三角函数，周长，规律规律。b填空题4分0.68原中考题改编22列方程解应用题；列不等式（组）解应用题；列函数解应用题。解应用题。c解答题10分0.60背景来自新闻报纸，数字自己编。23韦达定理。阅读理解题。b解答题8分0.70计算机试题改编24三种求面积的方法：直接利用面积公式求；分块求面积；补形求面积函数思想，分类讨论思想。c解答题12分0.51借鉴原中考题。