正则化参数的确定方法

1.拟最优准则Tikhonov指出当数据误差水平和未知时，可根据下面的拟最优准则：0minoptdxd（1-1）来确定正则参数。其基本思想是：让正则参数以及正则解对该参数的变化率同时稳定在尽可能小的水平上。2.广义交叉验证令22(())/()[(())]/IAymVtrIAm（2-1）其中，*1*()A(AAI)AhhhhA，1(IA())(1())mkkktr，()kk为()A的对角元素。这样可以取*满足*()min()VV（2-2）此法源于统计估计理论中选择最佳模型的PRESS准则，但比它更稳健。3.L_曲线法L曲线准则是指以log-log尺度来描述与的曲线对比，进而根据该对比结果来确定正则参数的方法。其名称由来是基于上述尺度作图时将出现一个明显的L曲线。运用L曲线准则的关键是给出L曲线偶角的数学定义,进而应用该准则选取参数。Hanke等[64]建议定义L曲线的偶角为L曲线在log-log尺度下的最大曲率。令logbAx，logx，则该曲率作为参数的函数定义为''''''3'2'22()(()())c（3-1）其中“'”表示关于的微分。H.W.Engl在文献[40]中指出:在相当多的情况下,L曲线准则可通过极小化泛函()xbAx来实现。即,选取*使得*0arginf()（3-2）这一准则更便于在数值计算上加以实施。但到目前为止,还没有相关文献获得过关于L曲线准则的收敛性结果。另一方面,有文献己举反例指出了L曲线准则的不收敛性。虽然如此,数值计算的结果表明,L曲线准则与GCV一样,具有很强的适应性。4.偏差原理:定理4-1:(Morozov偏差原理)[135]如果()是单值函数,则当0(,)UzAu时存在这样的(),使得:()(,)UzAu（4-1）,式中10|[]inf[]Fzzz。事实上，令2()()，由()的单调性和半连续性，可知()也是单调和半连续的，并且0lim()0，同时，由0z的定义以及()的半连续性，对于给定的，可以找到这样的00()，使得：()000(())(())(,)UzAu，由()的单值性可导出()的单值性，从而必定存在0()[0,]满足方程（4-1）。根据上述定理，若方程,AzuuF，uU（4-2）的准确右端项()uRA,而u的近似suU且满足条件：(,)Uuu；(0,)u，则正则化参数()存在且唯一。5.误差极小化准则Arcangeli主张由下式来确定正则参数0Axy（5-1）注意到对于每个固定的0，函数()Axy（5-2）对是连续的，单调递增的，且有0lim()0,lim()（5-3）故存在唯一的一个()满足方程（5-1）。6.无偏差预测风险估计