正弦余弦在三角形中的应用

正弦、余弦定理在三角形中的应用知识点一：三角形中的三角函数值的关系在中，，（1）互补关系：，，；（2）互余关系：，，.知识点二：正弦定理和余弦定理①正弦定理公式：（其中R表示三角形的外接圆半径）②余弦定理公式：第一形式：第二形式：知识点三：三角形的面积公式①；②；知识点四：利用正、余弦定理解三角形的基本类型（1）已知一边和两角（例如a，B,C）解法步骤：1．利用A+B+C=180°，求A2．应用正弦定理求b,c解的情况：唯一解（2）已知两边和其中一边的对角（例如a，b，A）解法步骤：1．应用正弦定理，求另一边的对角（即角B）2．利用A+B+C=180°，求第三个角3．应用正弦或余弦定理求第三边解的情况：两解、一解或者无解注意：此类问题要讨论解的情况①若A为锐角时：一解一解两解无解②若A为直角或钝角时：（3）已知两边和夹角（a，b，C）解法步骤：1．应用余弦定理求边c2．应用正弦定理求a,b中较短的边所对的角（该角一定是锐角）3．利用A+B+C=180°，求第三个角.解的情况：唯一解（4）已知三边(a，b，c)解法步骤：法一：1.应用余弦定理先求任意两个角2．用A+B+C=180°，求第三个角法二：1．应用余弦定理求a,b,c中最长边所对的角2．应用正弦定理求余下两个角中的任意一个（该角一定是锐角）3．利用A+B+C=180°，求第三个角解的情况：唯一解知识点五：三角形的形状的判定1.特殊三角形的判定：（1）直角三角形勾股定理：，互余关系：，，；（2）等腰三角形，；2.用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号）（1）在中，；（2）在中，；（3）在中，；规律方法指导1．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）注意：已知两边和其中一边对角，用正弦定理解三角形有两解或一解或无解三种情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”2．利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角3.正、余弦定理的实质是方程，因此在应用的过程中要留意方程思想；4.判定三角形的形状时，需要把已知条件化简成能判断的单纯的角或边的形式.