正玄定理与余弦定理的运用

正玄定理与余弦定理的运用【热点题型】题型一考查测量距离例1、如图所示，有两座建筑物AB和CD都在河的对岸(不知道它们的高度，且不能到达对岸)，某人想测量两座建筑物尖顶A、C之间的距离，但只有卷尺和测量仪两种工具．若此人在地面上选一条基线EF，用卷尺测得EF的长度为a，并用测角仪测量了一些角度：∠AEF＝α，∠AFE＝β，∠CEF＝θ，∠CFE＝φ，∠AEC＝γ.请你用文字和公式写出计算A、C之间距离的步骤和结果．【举一反三】隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距3km的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．【热点题型】题型二考查高度问题例2、如图，在湖面上高为10m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1m)()A．2.7mB．17.3mC．37.3mD．373mc【举一反三】如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．【热点题型】题型三考查方位角例3、如图，我国的海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其东北方向与它相距16海里的B处里一外国船只，且D岛位于海监船正东142海里处．(1)求此时该外国船只与D岛的距离；(2)观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行．为了将该船拦截在离D岛12海里处，不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值．(参考数据：sin36°52′≈0.6，sin53°08′≈0.8)【举一反三】如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进mkm后在B处测量该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围nkm范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．【热点题型】题型四考查函数思想在解三角形中的应用例4、如图所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？【提分秘籍】函数思想在解三角形中常与余弦定理应用及函数最值求法相综合，此类问题综合性较强，能力要求较高，要有一定的分析问题解决问题的能力．【举一反三】如图所示，已知树顶A离地面212米，树上另一点B离地面112米，某人在离地面32米的C处看此树，则该人离此树________米时，看A，B的视角最大．【随堂巩固】1．有一长为10m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长()A．5mB．10mC．102mD．103m2．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为A.1722海里/小时B．346海里/小时C.1762海里/小时D．342海里/小时3．甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为()A.1507分钟B.157小时C．21.5分钟D．2.15小时4.如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点间的距离为()[来源:学§科§网Z§X§X§K]A．502mB．503mC．252mD.2522m5．地上画了一个角∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为()A．14米B．15米C．16米D．17米[来源:学科网ZXXK]6．已知等腰三角形的面积为32，顶角的正弦值是底角的正弦值的3倍，则该三角形的一腰长为()A.2B.3C．2D.67.如图，在某灾区的搜救现场，一条搜救犬从A点出发沿正北方向行进xm到达B处发现生命迹象，然后向右转105°，行进10m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°回到出发点，那么x＝________.8．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.9．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m.10．如图，在某平原地区一条河的彼岸有一建筑物，现在需要测量其高度AB.由于雨季河宽水急不能涉水，只能在此岸测量．现有的测量器材只有测角仪和皮尺．现在选定了一条水平基线HG，使得H，G，B三点在同一条直线上．请你设计一种测量方法测出建筑物的高度，并说明理由．(测角仪的高为h)11.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C处的乙船．(1)求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；(2)设乙船沿直线CB方向前往B处救援，其方向向CA→成θ角，求f(x)＝sin2θsinx＋34cos2θcosx(x∈R)的值域．12．A，B，C是一条直线上的三个点，AB＝BC＝1km，从这三点分别遥望一座电视塔P，A处看塔，塔在东北方向，B处看塔，塔在正东方向，C处看塔，塔在南偏东60°方向．求塔到直线AC的距离．13.某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，设计一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示．为充分利用现有材料，边BC，CD用一根长为5米的材料弯折而成，边BA，AD用一根长为9米的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB＝BC.(1)设AB＝x米，cosA＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围；