毕卡逐次逼近法在定理证明中的应用

毕卡逐次逼近法在定理证明中的应用摘要本文用毕卡逐次逼近法及数学分析知识，证明“隐函数存在定理”和一阶方程初值问题解的非局部存在性定理。一·毕卡逐次逼近法证明隐函数存在定理定理1·设),(yxF满足下列条件：（I）y,FFx在byyaxxD00,：上连续；（II）0),(00yxF（通常称为初始条件）（III）对Dyx),(，恒有0),(yyxF；（IV）在D上),(),(yxyxFyxF条件满对Lipchitzy：即对D上任意两点),(),(21yxyx，，不等式212y2x1y1x),(),(),(),(yyLyxFyxFyxFyxF－－……（1）恒成立，L是与),(1yx和),(2yx无关的正常数（常数Lipchitz）。则在区间0),(0＝上yxFhxx唯一确定一个隐函数)(xy，满足)(00xy＝。这个函数在hxx0上连续可微。其中},min{Mbah……（2）),(),(maxyx),(yxFyxFMDyx……（3）证明：若0),(＝yxF在hxx0上能唯一确定可导的隐函数)(xy，则有0))(,(＝xyxF,方程两边对x求导，得0·'yFFyX。由0yF，得),(),(yx'yxFyxFy＝－。因此，0),(＝yxF在hxx0上能确定唯一可导的隐函数)()(00xyxy＝且，等价于初值问题),(),(0))(,(yx'00{yxFyxFyxyxF＝－……（*）在hxx0上有唯一解)()(00xyxy＝且。简记),(),(),(yxyxFyxFyxf－，下面分4段证明之。（1）构造一个近似解的序列。用0yy……（4）代替),(yxf中的y，则),(0'yxfdxdyy＝……（5）其右边是上在axxx0的已知函数，对（5）两边积分（显然),(yxf在D上连续，故可积），并令它满足0))(,(00xyxF于是得到xxdtytfyxy0),()(00……（6）它区间axx0上连续。一般来说，它并不正好是（*）的解，称它为（*）的第1次近似解，记为xxdtytfyxy0),()(001……（7）并称（4）为（*）的第0次近似解。现在估算由（7）确定的函数)(1xy的界限：00001000),(),()(xxMMdtdtytfdtytfyxyxxxxxx＝＝－……（8）所以，当hxx0时，有bMhxxM0，即有byxy01)(－。这就推知，当hxx0时，Dxyx))(,(1，于是))(,(1xyxf有定义，并且是x在hxx0上的连续函数。考虑))(,(0))(,(100{xyxfdxdyxyxF得到第2次近似解xxdtytfyxy0),()(102同理可证，当hxx0时，有byxy02)(－，即Dxyx))(,(2如此下去，可得到第n次近似解:xxnndtytfyxy0),()(10……（9）易知当hxx0时有bxxMMdtdtytfdtytfyxyxxxxnxxnn0110000),(),()(＝＝－……（10）从而Dxyxn))(,(。由归纳法，定义了无穷序列0y,)(1xy,)(2xy,…，)(xyn，………（11）每个函数在hxx0连续，且Dxyxn))(,(，（n＝0，1，2，……）（2）·证明{)(xyn}在hxx0上一致收敛。当hxx0时，xxnnnndttytftytfxyxy0))(,())(,()()(211＝－xxnndttytyL0)()(21－(n=2,3,……)……（12）由数学归纳法易证明)()(1xyxynn－n!)(·0nxxLLM……（13）事实上，当n=1时，由（8）知（13）成立；假设，当n=k时成立，即)()(1xyxykk－k!)(·0kxxLLM则由（12）知xxkkkkdttytyLxyxy0)()()()(11－－xxkdtxtLkM0)(!0＝)!1()(·10kxxLLMk即证明了（13）当n=k+1时也成立。由（13），当hxx0时，有)()(1xyxynn－!)(·nLhLMn易知，正项级数1!)(·nnnLhLM收敛，由M-判别法知级数11)()(nnnxyxy－在hxx0上一致收敛。即)(xyn在hxx0上一致收敛，将其极限函数记为)(x即)()(limxxynn，hxx0……（14）又连续函数的一致收敛极限函数也必定是连续函数，故)(x在hxx0上连续，且bxxMyx00)(，所以当hxx0时，Dxx))(,(。（3）·证明上述)(x的确是（*）的解。)(lim)(100tydyxnxxnxxndttytf0)(,xxnndttytf0)(lim,xxdtttf0)(,即)(x＝xxdtttfy0))(,(0……（15）从而有))(,()()(00{xxfdxxdyx，hxx0（4）·证明（*）的解的唯一性。设)(xy与)(xy都是（*）的解，公共区间为10hxx，则有xxdtttfyx0))(,()(0……（16）xxdtttfyx0))(,()(0……（17）由（16）－（17）得xxdtttfttfxx0))(,())(,()()(－xxdtttL0)()(（10hxx）记xxdtttxu0)()()(，100hxx……（18）于是，上式可改写为0)()(xLudxxdu，两边乘以Lxe，即有dxxuedxuLedxxdueLxLxLx))(()()(0两边从0x到x积分，且由0)(0xu得到0)(Lxexu，又0Lxe，故0)(xu。又由（18）知0)(xu，所以知0)(xu。同理可证当001xxh时，0)(xu。综上知，当10hxx时，xxdttt00)()(，求导得0)()(xx，即有)()(xx，10hxx。这就证明了只有一个解满足（*）.由以上的（1），（2），（3），（4）和证明开始处的分析知，0),(yxF在hxx0上唯一确定隐函数)(xy且满足)(00xy＝，同时)(xy在0xx上连续可导。证毕。二·毕卡逐次逼近法证明一个非局部存在定理[2]中有一个一阶方程初值问题解的非局部存在性定理。原文中的证明是用到反证法，在已有贝尔曼不等式，延展定理，饱和区间引理等的前提下，证明过程比较简洁，但需要掌握较多的知识才能理解。而用毕卡逐次逼近法也可以证明该定理。虽然过程长，但思路清晰。现给出定理及证明如下：定理2·设有初值问题),(|00{yxfdxdyyyxx，Dyx),(00……（19）),(yxf在带形区域bxayxG|),{(，}y内连续，并设它在G内条件满对Lipchitzy，则对G内任一点),(00yx，初值问题（1）的解在区间（a，b）上存在且唯一。证明：取),(],[ba，且0x，对],[x，由定理中G知Gxyxn))(,(,故))(,(xyxfn均有定义。其中{)(xyn}为毕卡序列。以下证明过程类似定理1中（1），（2），（3），（4）的证明。由此知，对与),(ba的任意包含0x的闭子区间],[初值问题（1）都存在唯一解，故可推知，对于),(ba上的任意x，恒成立))(,()(xxfdxxd和)()(xx，这就证明了在),(ba上，)(xy是初值问题的唯一解。证毕。注：定理（1）中第（1）段所作的序列{)(xyn}称为毕卡序列，构造毕卡序列并证明它的一致收敛性的这种方法，称为毕卡逐次逼近法。第（2）段证明毕卡序列的一致收敛性和第（4）段证明解的唯一性中起重要作用的是条件Lipschitz。可以举出例子，当不满足（III）时，仅从毕卡序列一致收敛性（在),(yxf对y不满足局部条件Lipschitz下），并不能推出初值问题解的唯一性。参考书目：[1]《数学分析简明教程》邓东皋，尹小玲。高等教育出版社，1999年第1版；[2]《常微分方程》蔡燧林，武汉大学出版社，2003年，第2版。