求an=pan1+q型数列通项公式的方法

求an=pan－1+q型数列通项公式的方法武进横山桥高级中学许光健关键词：等差数列等比数列递推公式通项公式化归待定系数法摘要：上篇解决了几种如何由an=pan－１+q型递推公式求数列{an}的通项公式的方法．按p，q的不同取值情况分别给出了讨论．还给出了由与之类似的几种递推公式求通项公式的方法．这里主要是通过化归的思想，待定系数等方法来解决．本篇再来探讨由an=an+f(n)，an=f(n)an，an=pan+f(n)型的递推公式求通项公式的方法．正文：上篇给出了由an=pan－１+q型递推公式求数列{an}的通项公式的方法，下面再研究几种类似的题型：1．an=an－１+f（n）对于形如)(1nfaann型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加即可得到通项公式。这种类型是由an=an－１+q型将其中的q换为f（n）而引申得到的，这种类型可以采用求等差数列通项公式的叠加法得到：a2=a1+f（2），a3=a2+f（3），a4=a3+f（4），……an=an－１+f（n）将式子叠加得：an=a1+2nif（n）．这里将问题转化为求2nif（n），特别地，若f（n）是表示等差或等比数列时，即求数列的前n项和．例如1：若在数列na中，31a，naann1，求通项na。解析：由naann1得naann1，所以11naann，221naann，…，112aa，将以上各式相加得：1)2()1(1nnaan，又31a所以na=32)1(nn2．an=f（n）an－１对于形如nnanfa)(1型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相乘即可得到通项公式。这种类型是由an=pan－１型将其中的p换为f（n）而引申得到的，这种类型可以采用求等比数列通项公式的思想得到：a2=f（2）a1a3=f（3）a2a4=f（4）a3……an=f（n）an－１将式子叠乘得：an=a12nif（n）．这里将问题转化为求2nif（n）．例如2.在数列na中，11a，nnnaa21（*Nn），求通项na。解析：由已知nnnaa21，112nnnaa，2212nnnaa，…，212aa，又11a，所以na=1nnaa21nnaa…12aa1a=12n22n…12=2)1(2nn3．an=pan－１+f（n）其中p≠1这种类型是由an=pan－１+q，p≠1将其中的q换成f（n）得到的．这里我们可以在两边同除以pn得：11()nnnnnaafnppp，记：bn＝nnap，则转化为类型1来求解．最后，an=f（n）an－１+q型和an=f（n）an－１＋g（n）型的通项公式还未发现初等的一般解法，也在这里提一下，希望读者给予解决．参考文献:《初等数学研究教程》葛军涂荣豹编著《数学》(必修)人民教育出版