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1求函数值域的方法求函数值域的方法有图象法,函数单调性法,配方法,平方法,换元法,反函数法(逆求法),判别式法,复合函数法,三角代换法,基本不等式法等。这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。1、求13xxy的值域解法一:(图象法)可化为3,431,221,4xxxxy如图,观察得值域44yy解法二:画数轴利用在数轴上的距离表示实数baba,可得。解法三:(利用绝对值不等式)414114)1(134)1()3(13xxxxxxxxxx所以同样可得值域2、求函数5,0,522xxxy的值域解:对称轴5,01x20,420,54,1maxmin值域为时时yxyx3、求函数xxy12的值域解:(换元法)设tx1,则)0(122ttty4,41,01max值域为,时当且开口向下,对称轴ytt4、求函数)1,0(239xyxx的值域解:(换元法)设tx3,则31t原函数可化为-103-10134-4xyx28,28,3;2,13,121,2maxmin2值域为时时对称轴ytytttty5、求函数xxy53的值域解:(平方法)函数定义域为:5,3x2,24,21,0158,5,31582)5()3(2222原函数值域为得由yxxxxxxxy6、求函数)0(2xyx的值域解:(图象法)如图,值域为1,07、求函数xxy2231的值域解:(复合函数法)令1)1(222xxxt,则)1(31tyt由指数函数的单调性知,原函数的值域为,318、求函数21xxy的值域解法一:(反函数法)1121,yyyyxx原函数值域为观察得解出解法二:(利用部分分式法)由1231232xxxy,可得值域1yy小结:已知分式函数)0(cdcxbaxy,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内,值域为cayy;如果是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为)(bcaddcxcadbcay,用复合函数法来求值域。10xy39、求函数133xxy的值域解法一:(反函数法)10013yyyx01原函数的值域为小结:如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围,可采用逆求法。解法二:(复合函数法)设tx13,则111131113113ttyxxx101101ytt01原函数的值域为10、求函数21xxy的值域解:(三角代换法)11x设,0cosx2,12,1)4sin(2sincossincos原函数的值域为y小结:(1)若题目中含有1a,则可设)0,cos(22,sinaa或设(2)若题目中含有122ba则可设sin,cosba,其中20(3)若题目中含有21x,则可设cosx,其中0(4)若题目中含有21x,则可设tanx,其中22(5)若题目中含有)0,0,0(ryxryx,则可设22sin,cosryrx其中2,011、求函数1122xxy的值域011t1t4解法一:(逆求法)110112yyyx11原函数的值域为解法二:(复合函数法)设tx12,则)1(211212ttxy1,1112201原函数值域为ytt解法三:(判别式法)原函数可化为010)1(2yxxy1)1y时不成立2)1y时,110)1)(1(400yyy11y综合1)、2)值域}11|{yy解法四:(三角代换法)Rx设2,2tanx,则1,12cos,22costan1tan122y原函数的值域为}11|{yy12、求函数34252xxy的值域解法一:(判别式法)化为0)53(422yyxyx1)0y时,不成立2)0y时,0得500)53(8)4(yyyy50y综合1)、2)值域}50|{yy201t2t51tt505解法二:(复合函数法)令txx3422,则ty511)1(22xt50y所以,值域}50|{yy13、函数11xxy的值域解法一:(判别式法)原式可化为01)1(2xyx,31,1304)1(02原函数值域为或yyy解法二:(基本不等式法)1)当0x时,321yxx2)0x时,12)(1)(1yxxxx综合1)2)知,原函数值域为,31,14、求函数)1(1222xxxxy的值域解法一:(判别式法)原式可化为02)2(2yxyx,221220)2(4)2(02原函数值域为舍去或yxyyyy解法二:(基本不等式法)原函数可化为)1(211111)1(2xxxxxy当且仅当0x时取等号,故值域为,215、求函数)221(1222xxxxy的值域解:令tx1,则原函数可化为)31(1ttty利用函数tty1在1,0上是减函数,在,1上是增函数,得6原函数值域为310,2小结:已知分式函数)0(2222dafexdxcbxaxy,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域;如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为)(二次式一次式或一次式二次式yy的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数的最大最小值;如果不满足用基本不等式的条件,转化为利用函数)0(xxaxy的单调性去解。
本文标题:求函数值域的方法有图象法,函数单调性法,配方
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