求数列极限的方法

求数列极限的方法摘要极限论是数学分析的基础，它从方法上表现了高等数学与初等数学的不同。极限研究的是变量在变化过程中的趋势问题。数学分析中所讨论的极限大体上分为两类：一类是数列的极限，一类是函数的极限。两类极限在本质上是相同的，在形式上数列极限是函数极限的特例。本文主要研究数列极限。在求数列极限的过程中，必然以相关的概念、定理及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧。关键词：极限、数列1、预备知识数列极限：设是一数列，如果存在常数a，当n无限增大时，na无限接近（或趋近）于a，则称数列收敛，a称为数列的极限，或称数列收敛于a，记为limnna=0a或：na→a，当n→∞。数列极限的ε-N定义设{na}是一个数列，a事一个确定的数，若∀ε＞0，存在自然数N使得当n＞N时，就有│na-a│＜ε，则称数列na收敛于a，a称为它的极限，记作limnnx=a或nx→a（n→∞）读作：“当n趋于无穷大时，na的极限等于a”或“当n趋于无穷大时，na趋于a”。lim为拉丁文limes一词的前三个字母，也有说成是英文limit一词的前三个字母的。若数列{na}没有极限，则称这个数列不收敛或称它为发散数列。数列极限的性质：1.唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的；2.有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。3.保号性：如果一个数列{nx}收敛于a，且a0（或a0)，那么存在正整数N，当nN时，都有nx0(或nx0)。4.改变数列的有限项，不改变数列的极限。2．数列极限的方法探求2.1几个常用数列的极限：求解策略：熟记常见极限的结论，如101101limkkkkkkknkkkananaabbnbnblimnCClim0nnq（│q│1）,1lim1nnen2.2利用定积分求数列极限通项中含有n!的数列极限，由于n!的特殊性，直接求非常困难，而转化为定积分来求救相对容易了。例1求222211122limarctanarctan...arctanxnnnnnnnnn解：将1n提出，则原和式可改写为11122arctanarctan...arctannnnXnnnnnnn它可以看作是函数arctanxx在区间0,1上的积分和，所采用的是n等分0,1区间，并且在每个小区间上均取右端函数值。因此221120011limarctanarctan22142nxxxIXXdxdxx10│例2求11lim!(2)!nnnnnn解：原式=(2)!lim!nnnnnn=nn+1)(n+2)(2n)limnnn（=112nlim(1)(1)1nnnnn=11exp(limln(1))nniinn=10exp(ln(1))xdx=exp(2ln21)注1把乘积转化为和的形式对函数是一个有利的工具。结论1若lnf(x)在0,1上可积，则11lim()nnniien10ln()fxdx2.3利用四则运算法则求数列极限若{na}与{nb}为收敛数列，则{na+nb}，{na-nb}，{nanb}也都是收敛数列，且有limlimlimnnnnnnnabablimlimlimnnnnnnnabab例:3求lim1nnnn解：1nnn1nnn1111n由11n，n得lim1nnnn=1lim111xn=122.4利用重要极限求数列的极限两个重要极限分别为（1）0sinlim1xxx（2）1lim1nnen例4求22lim1nn解：2lim1nnn=2222lim1nnen2.5利用两个准则求极限。(1)夹逼准则：若一正整数N,当nN时，有nnnyxz且limlimnnnnyza则有limnnxa.利用夹逼准则求极限关键在于从nx的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{}ny和{}nz，使得nnnyxz。例5：22211112nxnnnn求nx的极限解：因为nx单调递减，所以存在最大项和最小项2222111.......nnxnnnnnnnn2222111.......1111nnxnnnn则22nnnxnnnn又因为22limlim11nnnnnnnlim1nnx（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。例6证明下列数列的极限存在，并求极限。123,,,,nyayaayaaayaaaa证明：从这个数列构造来看ny显然是单调增加的。用归纳法可证。又因为21321,,,nnyayyayyay所以得21nnyay.因为前面证明ny是单调增加的。两端除以ny得1nnayy因为1nyya则naay,从而11naay1naya即ny是有界的。根据定理{y}n有极限，而且极限唯一。令limnnyl则21limlim()nnnnyya则2lla因为0ny解方程得1412al所以141lim2nnayl2.6几类特殊数列极限的求法（1）公式型若na是等比数列，其前n项和为nS，公比q满足│q│1，则1lim1nnaSq例7若数列na的通项是3213212nnnnnnan，则求12limnnaaa解：2,3,nnnnna为奇数为偶数则21na是等比数列，且其首项为12，公比为14;2na是等比数列，且其首项为19，公比为19。所以12111992lim11241149nnaaa（2）分式型分子、分母同除以某代数式，使之符合极限的运算法则。若分子、分母事多项式，则分子、分母同除以n的最高次幂，然后利用1lim0knn（k0）来求极限；若分子、分母含指数式，则分子、分母同初除以底数的绝对值大的项，然后利用lim0nnq（│q│1）来求极限。例8求222223411123limnnnCCCCnCCC解：222232341116nnnnnCCCCC，1112321232nnnnnCCCnn则原式=1111limlim232331xxnnnn（3）无理式型一般是先有理化，然后利用极限的运算法则例9已知a、b为常数，且2lim211nannbn，求a、b的值解：2lim21nannbn=2222222lim21nabnanaannbn=222222lim112naabnanabnn则22220,1,2abaab解得a=22,b=4（4）和型或积型对和型或积型，应先求和或求积，再求极限例10求123212lim11111nnnnnnnn的值解：原式=1234212lim111111nnnnnnnnn=1lim11nnn（5）递推型已知数列的递推式求数列的极限，一般对递推式两边取极限，利用11limlimlimnnnnnnaaa构造方程求解；也可求出递推数列的通项公式后，再求极限。例11已知a0，数列na满足1110,1nnaaana。若na的极限存在且大于0，求A=limnna（将A用a表示）。解：limnna存在，且A=limnna，A0，对11nnaaa两边取极限，得1AaA，解得242aaA。又A0，则242aaA