普通物理学教程力学第八章弹性体的应力和应变课后答案

第8章弹性体的应力和应变第八章弹性体的应力和应变习题解答8.1.1一钢杆的截面积为5.0×10-4m2，所受轴向外力如图所示，试计算A、B，B、C和C、D之间的应力。NFNFNFNF44434241103,105,108,106解：EGHF1F2F3F4ABCD根据杆的受力情况，可知杆处于平衡状态。分别在AB之间E处，BC之间G处，CD之间H处作垂直杆的假想截面S。隔离AE段，由平衡条件，E处S面上的内力F=F1,∴A、B之间的应力28100.51061/102.1//44mNSFSF隔离AG段，由平衡条件，G处S面上的内力F=F2-F1,∴B、C之间压应力28100.510)68(/104.04412mNsFF隔离HD段，由平衡条件，H处S面上的内力F=F4,∴C、D之间的应力28100.51034/106.0//44mNSFSF8.1.2利用直径为0.02m的钢杆CD固定刚性杆AB.若CD杆内的应力不得超过σmax=16×107Pa.问B处最多能悬挂多大重量？解：隔离AB，以A点为轴，由力矩平衡条件，有TWWT39.0)6.00.1(0.1228.00.18.0隔离CD，杆CD应力σ=T/S,∴T=σS=σπ(D/2)2.杆能承受的最大拉力47241max4max1002.5101602.014.32DTNB处能悬挂的最大重量NTW4maxmax1096.139.08.1.3图中上半段为横截面等于4.0×10-4m2。且杨氏模量为6.9×1010Pa的铝制杆，下半段为横截面等于1.0×10-4m2且杨氏模量为19.6×1010Pa的钢杆，又知铝杆内允许最大应力为7.8×107Pa,钢杆内允许最大应力为13.7×107Pa.不计杆的自重，求杆下端所能承担的最大负荷以及在此负荷下杆的总伸长量。解：设铝杆与钢杆的长度、横截面、杨氏模量、应力分别为：l1、S1、Y1、σ1，l2、S2、Y2、σ2.,显然，σ1=F/S1，σ2=F/S2.设铝杆和钢杆所能承担的最大负荷分别为F1max，F2max，则NSF4471max1max11012.3100.4108.7第8章弹性体的应力和应变NSF4472max21max21037.1100.1107.13整个杆的最大负荷应取钢杆的最大负荷：NF4max1037.1根据拉伸形变的胡克定律，对于铝杆111maxllSFY，所以，111max1SYlFl；对于钢杆，同样有222max2SYlFl.整个杆的伸长量是：(max21Flll111SYl)222SYlm3100.1106.190.2100.4109.60.341089.2)(1037.14104108.1.4电梯用不在一条直线上的三根钢索悬挂。电梯质量为500kg。最大负载极限5.5kN。每根钢索都能独立承担总负载，且其应力仅为允许应力的70%，若电梯向上的最大加速度为g/5,求钢索直径为多少？将钢索看作圆柱体，且不计其自重，取钢的允许应力为6.0×108Pa.TTT解：设每根钢索承受拉力为T,电梯自重为W=mg,负荷为W'=m'g.由牛顿第二定律，NWmgWmggmmWWTgmmammWWT3331311016.4)105.58.9500(4.0)'(4.0)'2.12.1(])'(2.0'[)'(2.0)'('3设钢索直径为D，每根钢索的应力2)5.0(DTmmmTD15.61015.6)100.67.014.3/(1016.42)/(23838.1.5⑴矩形横截面杆在轴向拉力作用下拉伸应变为ε，此材料的泊松系数为μ，求证杆体积的相对改变为(V-V0)/V0=ε(1-2μ)，V0表示原体即，V表示形变后体积.⑵上式是否适用于压缩？⑶低碳钢杨氏模量为Y=19.6×1010Pa，泊松系数μ=0.3，受到的拉应力为σ=1.37Pa，求杆件体积的相对改变。解：⑴设杆原长为l0，矩形截面两边原长分别为a0和b0，据线应变定义：轴向应变00lll，横向应变00001aaabbb，所以：01010)1(,)1(,)1(bbaall，由泊松系数定义||1，拉伸时，ε0,ε10,∴ε1=-με))(21(1)1)(21(1)1()1(1)1()1()1()1()1(222210000000010100000000略去高级小项lbalbalbalbalbaablVVV⑵对于压缩，ε0,ε10,仍有第8章弹性体的应力和应变ε1=-με成立，因此上式对压缩情况仍然适用⑶据胡克定律YY/,121000108.2106.19)3.021(37.1)21(YVVV8.1.6⑴杆受轴向拉力F，其横截面为S，材料的重度（单位体积物质的重量）为γ，试证明考虑材料的重量时，横截面内的应力为xxSF)(。⑵杆内应力如上式，试证明杆的总伸长量YlYSlFl22证明：⑴建立图示坐标o-x，在坐标x处取一截面S，隔离o、x段杆，由平衡条件，截面S上的内力F’=F+γSx，据应力定义xSFSxSFSF'⑵考虑x处的线元dx，该线元在重力作用下的绝对伸长为dl,据胡克定律，dxYxYSFYdxdldxYdl]/)/([/,/积分：'202)(llYlSYlFlYYSFldxxdl8.2.1在剪切材料时，由于刀口不快，没有切断，该钢板发生了切变。钢板的横截面积为S=90cm2.两刀口间的垂直距离为d=0.5cm.当剪切力为F=7×105N时，求：⑴钢板中的切应力，⑵钢板的切应变，⑶与刀口相齐的两个截面所发生的相对滑移。已知钢的剪切模量N=8×1010Pa。解：⑴据切应力定义271090107/1078.745mNSF⑵据胡克定律，radNN41081078.7107.9107⑶cmdldl441085.4107.95.0/8.3.1一铝管直径为4cm，壁厚1mm，长10m，一端固定，而另一端作用一力矩50Nm，求铝管的扭转角θ；对同样尺寸的钢管再计算一遍，已知铝的剪切模量N=2.63×1010Pa，钢的剪切模量为8.0×1010Pa解：设管的半径为R,管壁厚d，管长为l,外力矩为M，由于dR，可认为管壁截面上各处的切应力大小相等，设为τ，在平衡状态下，内、外力矩相等：)2/(,)2(2dRMRRdM据剪切形变的胡克定律：dNRMNN22,ψθ第8章弹性体的应力和应变raddNRMlRl376.0001.002.01065.214.32105023103对于钢管：rad124.0001.002.0100.814.3210503108.3.2矩形横截面长宽比为2:3的梁，在力偶矩作用下发生纯弯曲，各以横截面的长和宽作为高度，求同样力偶矩作用下曲率半径之比。解：设梁衡截面长为2d,宽为3d，据梁纯弯曲的曲率公式：)12/(,/1)/(1233YbhRRYbhk以2d为梁的高：)12/()2)(3(31ddYR以3d为梁的高：)12/()3)(2(32ddYR9427218321RR8.3.3某梁发生纯弯曲，梁长度为L,宽度为b，厚度为h，弯曲后曲率半径为R,材料杨氏模量为Y,求总形变势能。解：建立图示坐标o-x,原点o在中性层。梁的弯曲是由不同程度的拉伸压缩形变组成。在坐标x处，取一体元dv=bLdx，其应变()RxRxRR其形变势能密度2212210)(RxpYYE其形变势能dxxbLdxYdERLbYRxp222212)(.在整个梁中积分，即得到整个梁的形变势能2/2/2422232hhRhbLYRLbYpdxxE