智爱高中数学抽象函数的周期与对称轴

分享智慧泉源智愛學習传扬爱心喜乐Wisdom&Love第1页（共8页）2019年12月30日星期一智愛高中數學抽象函数的周期与对称轴一.内容：抽象函数的周期与对称轴二.重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。难点：结论的推导证明，利用结论解决问题。三.具体内容1.若)()(Txfxf则)(xf的周期为T。2.若)()(xbfaxf则)(xf的周期为abT证：令axx∴)()(abxfxf3.)()(bxfaxf则)(xf的周期abT2证：令axx∴)()(abxfxf①令bxx∴)()(xfbaxf②由①②得：)]([)]([abxfbaxf∴)]([)]([abxfbaxf∴abT24.若)()(xbfxaf则)(xf图象的对称轴为2bax证：要证原结论成立，只需证)2()2(xbafxbaf令xabx2代入)()(xbfxaf则)2()2(xbafxbaf5.若)()(xbfxaf则)(xf的图象，以)0,2(ba为对称中心。证：方法一：要证原结论成立只需证)2()2(xbafxbaf令2abxx代入)()(xbfxaf则)2()2(xbafxbaf方法二：设)(xfy它的图象为CCyxP),(00则P关于点)0,2(ba的对称点),(00yxbaP)()]([)]([)(0000xfxbbfxbafxbaf∵00)(yxf∴00)(yxbaf∴CP【典型例题】分享智慧泉源智愛學習传扬爱心喜乐Wisdom&Love第2页（共8页）2019年12月30日星期一[例1]对于)(xfy，Rx有下列命题。（1）在同一坐标系下，函数)1(xfy与)1(xfy的图象关于直线1x对称。（2）若)1()1(xfxf且)2()2(xfxf均成立，则)(xf为偶函数。（3）若)1()1(xfxf恒成立，则)(xfy为周期函数。（4）若)(xf为单调增函数，则)(xafy（0a且1a）也为单调增函数，其中正确的为？解：（2）（3）[例2]若函数3)()(axxfRx有)1()1(xfxf求)2()2(ff。解：Rx，)1()1(xfxf知)(xf的图象关于)0,1(对称而3)()(axxf的对称中心)0,(aP∴1a∴3)1()(xxf则26)3(1)2()2(3ff[例3]设)(xf是定义在R上的函数，Rx均有0)2()(xfxf当11x时12)(xxf，求当31x时，)(xf的解析式。解：由Rx有)2()(xfxf得4T设]3,1(x则]1,1()2(x)()2()42()2(xfxfxfxf∴52]1)2(2[)2()(xxxfxf∴31x时52)(xxf[例4]已知)(xf是定义在R上的函数且满足1)1()(xfxf，当]1,0[x时有2)(xxf则（1）)(xf是周期函数且周期为2（2）当]2,1[x时，22)(xxxf（3）43)5,2004(f其中正确的是？解：（1）（2）（3）[例5]已知)(xf满足)2()2(xfxf，)4()4(xfxf，当26x时，cbxxxf2)(且13)4(f，分享智慧泉源智愛學習传扬爱心喜乐Wisdom&Love第3页（共8页）2019年12月30日星期一若)3(bfm，)2(cfn，)11(fp求m、n、p的大小关系？解：由已知得4T，对称轴4x∴4x也为一条对称轴∴42b∴8b由13)4(f∴134644c∴3c∴)38(fm，)23(fn，)3()11(ffp∴pmn[例6]定义在R上的函数)(xf既是偶函数又是周期函数，若)(xf的最小正周期是，且当]2,0[x时，xxfsin)(求)35(f的值。解：233sin)3()3()32()32()35(fffff[例7]设)(xfy定义在R上，Rnm，有)()()(nfmfnmf且当0x时，1)(0xf（1）求证：1)0(f且当0x时，1)(xf（2）求证：)(xf在R上递减。解：（1）在)()()(nfmfnmf中，令1m，0n得)0()1()1(fff∵1)1(0f∴1)0(f设0x，则0x令xm，xn代入条件式有)()()0(xfxff而1)0(f∴1)(1)(xfxf（2）设21xx则012xx∴1)(012xxf令1xm，2xnm则12xxn代入条件式得)()()(1212xxfxfxf即1)()(012xfxf∴)()(12xfxf∴)(xf在R上递减分享智慧泉源智愛學習传扬爱心喜乐Wisdom&Love第4页（共8页）2019年12月30日星期一【模拟试题】一.选择1.已知)(xf满足)()3(xfxf，Rx且)(xf是奇函数，若2)1(f则)2000(f（B）A.2B.2C.23D.232.已知)(xf是定义在R上的偶函数，且)()4(xfxf对任何实数均成立，当20x时，xxf)(，当400398x时，)(xf（C）A.400xB.398xC.x400D.x3983.若函数)sin(3)(xxf，Rx都有)6()6(xfxf则)6(f等于（D）A.0B.3C.3D.3或34.函数)223cos(xy是（C）A.周期为2的奇函数B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数D.周期为4的奇函数5.)2sin(2)(xxf的图象关于y轴对称的充要条件是（C）A.22kB.k2C.2kD.k6.如果)()(xfxf且)()(xfxf则)(xf可以是（D）A.x2sinB.xcosC.xsinD.xsin7.)cos(3)sin(xxy为偶函数的充要条件是（B）A.32kB.6kC.62kD.6k8.设)(xf是R上的奇函数，)()2(xfxf当10x时，xxf)(，则)5.7(f（B）A.0.5B.5.0C.1.5D.5.19.设cbxxxf2)(，tx有)2()2(tftf那么（A）A.)4()1()2(fffB.)4()2()1(fffC.)1()4()2(fff分享智慧泉源智愛學習传扬爱心喜乐Wisdom&Love第5页（共8页）2019年12月30日星期一D.)1()2()4(fff10.)(xfy定义在R上，则)1(xfy与)1(xfy的图象关于（D）A.0y对称B.0x对称C.1y对称D.1x对称二.填空1.)(xf是R上的奇函数，且)()2(xfxf，则)3()2()(fff)2003(f0。2.函数)32sin(xy的图象的对称轴中最靠近y轴的是。12x3.)(xf为奇函数，且当0x时，2)(xxxf则当0x时)(xf。2xx4.偶函数)(xf的定义域为R，且在)0,(上是增函数，则（1）)1()43(2aaff（2）)1()43(2aaff（3）)1()43(2aaff（4）)1()43(2aaff中正确的是（2）。三.解答题1.设)(xf是定义在R上的偶函数，图象关于1x对称，1x、]21,0[2x都有)()()(2121xfxfxxf且0)1(af（1）求)21(f、)41(f（2）证明：)(xf是周期函数解：（1）∵]21,0[,21xx都有)()()(2121xfxfxxf∴0)2()2()(xfxfxf]1,0[x∵2)]21([)21()21()2121()1(fffff∵21)21(af，2)]41([)4141()21(fff∴41)41(af分享智慧泉源智愛學習传扬爱心喜乐Wisdom&Love第6页（共8页）2019年12月30日星期一（2）由已知)(xf关于1x对称∴)11()(xfxf即)2()(xfxf，Rx又由)(xf是偶函数知)()(xfxf，Rx∴)2()(xfxf，Rx将上式中x以x代换得)2()(xfxf∴)(xf是R上的周期函数，且2是它的一个周期2.如果函数)(xfy的图象关于ax和)(babx都对称，证明这个函数满足)(])(2[xfxbaf证：∵)(xf关于ax和bx对称∴)2()(xafxf，)2()(xbfxf∴)2()2(xbfxaf令Axb2，则Abaxa)(22∴)(])(2[AfAbaf即)(])(2[xfxbaf3.已知cbxxxf2)(对任意实数t都有)1()1(tftf，比较)21(f与)2(f的大小。解：由)1()1(tftf知抛物线cbxxxf2)(的对称轴是1∴)23()21(ff而232根据)(xf在),1(上是增函数得)23()2(ff即)21()2(ff4.定义在实数集上的函数)(xf，对一切实数x都有)2()1(xfxf成立，若方程0)(xf仅有101个不同实根，求所有实根之和。解：设xu2即ux2∴)3()(ufuf∴Rx有)3()(xfxf∴所有实根之和为230323101注：一个结论：设)(xfy，Rx都有)2()(xafxf且0)(xf有k个实根)2(k，则所有实根之和为ka分享智慧泉源智愛學習传扬爱心喜乐Wisdom&Love第7页（共8页）2019年12月30日星期一练习一.选择1.已知)(xf满足)()3(xfxf，Rx且)(xf是奇函数，若2)1(f则)2000(f（）A.2B.2C.23D.232.已知)(xf是定义在R上的偶函数，且)()4(xfxf对任何实数均成立，当20x时，xxf)(，当400398x时，)(xf（）A.400xB.398xC.x400D.x3983.若函数)sin(3)(xxf，Rx都有)6()6(xfxf则)6(f等于（）A.0B.3C.3D.3或34.函数)223cos(xy是（）A.周期为2的奇函数B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数D.周期为4的奇函数5.)2sin(2)(xxf的图象关于y轴对称的充要条件是（）A.22kB.k2C.2kD.k6.如果)()(xfxf且)()(xfxf则)(xf可以是（）A.x2sinB.xcosC.xsinD.xsin7.)cos(3)sin(xxy为偶函数的充要条件是（）A.32kB.6kC.62kD.6k8.设)(xf是R上的奇函数，)()2(xfxf当10x时，xxf)(，则)5.7(f（）A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.59.设cbxxxf2)(，tx有)2()2(tftf那么（）A.)4()1()2(fffB.)4()2()1(fffC.)1()4()2(fffD.)1()2()4(fff分享智慧泉源智愛學習传扬爱心喜乐Wisdom&Love第8页（共8页）2019年12月30日星期一10.)