最新版第5章定积分及其应用单元自测题答案

第1页共7页第五章定积分及其应用主要内容内容提要：一、定积分的定义二、定积分的简单性质bababadxxgdxxfdxxgxf)()()]()([babadxxfkdxxkf)()(0)(aadxxfbaabdxxfdxxf)()(bccabadxxfdxxfdxxf)()()(当)(xf是奇函数时，0)(aadxxf；当)(xf是偶函数时，aaadxxfdxxf0)(2)(．三、微积分基本公式CxFdxxf)()()()()()(aFbFxFdxxfbaba．四、定积分的计算：方法与不定积分相同．1．换元积分法（1）定积分的凑微分法babaxdxfdxxxf)())(()())(()()()()(baduufxu)()()(bauF（2）定积分的第二类换元法令)(a，)(b，则badtttftxdxxf)())(()()(2．分部积分法第2页共7页babaxdvxudxxvxu)()()()(babaxduxvxvxu)()()]()([babadxxuxvxvxu)()()]()([五、积分上限函数的导数：（1）)()(xfdttfxa（2）)())(()()(xuxufdttfdxdxua（3）)('))(()('))(()()()(xxfxxfdttfdxdxx六、反常积分1、1,1,1ppxdxp发散收敛；2、1p,1p,)ax(dxbap发散收敛七、定积分的应用（微元法）1．平面图形的面积．2．体积：只要求旋转体的体积．3．弧长第3页共7页第五章定积分及其应用单元自测题一、填空题：1．xdxxsin40。分析设xxxfsin)(4，则)(sin)sin()()(44xfxxxxxf，即)(xf是奇函数。2．20)(dxxf=65。其中)(xf=xx22)21()10(xx。分析211020)()()(dxxfdxxfdxxf21102)2(dxxdxx65)212(31212103xxx。3．利用定积分的几何意义计算定积分2224dxx2。分析2224dxx表示上半圆24xy的面积，即圆422yx的面积的一半。因此，2421214222Sdxx。4．正弦曲线xysin在],0[上与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V22。分析00222cos1][sindxxdxxV0022cos2122xxddx22sin4220x。第4页共7页5．3114xdx.分析3111lim3113131314xxxdxx。二、选择题：1．下列说法中正确的是（B）。（A）)(xf在],[ba上有界，则)(xf在],[ba上可积；（B）)(xf在],[ba上连续，则)(xf在],[ba上可积；（C）)(xf在],[ba上可积，则)(xf在],[ba上连续；（D）以上说法都不正确。2．设1,21,2)(xxxxf，则xdttfx0)()(在]2,0[上的表达式为（A）。（A）21,110,2)(2xxxxx；（B）21,10,2)(2xxxxx；（C）x2；（D）2x．分析当10x时，xdtdttfxxx22)()(00。当21x时，xxdttfdttfdttfx1100)()()()(1222212110xttdtdtxx。3．设连续函数)(xf满足：)(xf=102)(dxxfxx，则)(xf=（B）。(A)243xx；(B)x+243x；(C)223xx；(D)x+223x.分析两边同时积分：101021010)()(dxdxxfxxdxdxxf10102102)(21dxxfdxxx10103)(3121dxxfx10)(3121dxxf。第5页共7页解得21)(3210dxxf，即43)(10dxxf。从而，243)(xxxf。4．设)(uf连续，且200)(dxxxf，若2010)()2(dxxxfdxxxfk，则k=（D）。(A)41；（B）1；（C）2；（D）4.分析202010)(42)(22)2(duuufkudufukxudxxxfk2020)()(4dxxxfdxxxfk解得4k。5．下列反常积分中收敛的是（D）。（A）11dxx；（B）1321dxx；（C）102)1(1dxx；(D)212xdx.分析（1）1,1,1ppxdxp发散收敛；（2）1p,1p,)ax(dxbap发散收敛三、计算题：1．223cosxdx。解202203223sin)sin1(2cos2cosxdxxdxxdx34)sin31(sin2203xx。2．dxxx20234。解令txsin2，则tdtdxcos2，且当0x时，0t；当2x时，2t。所以，20232023cos2sin44sin84tdtttdxxx2022203coscos)1(cos32cos2cos2sin8ttdttdttt1564)cos31cos51(322035tt。第6页共7页3．102)1ln(dxx。解1022102102102122ln)1ln(|)]1ln([)1ln(dxxxxxdxxdxx222ln)arctan(22ln)111(22ln10102xxdxx。4．20sincossinxdxxex。解1020sin20sinsinsinsincossinuduexuxxdexdxxeuxx1)(10101010uuuueedueueude。5．xxdtetxtxsinlim30022。解xxdtetxtxsinlim30022)(limlim4004002222xdtetxdtetxtxxtx2142lim4)(lim422032)(20xxexxexxxxx。四、应用题：1．求由曲线xy1与直线xy，2x所围成平面图形的面积．解由xyxy1知，两曲线的交点为)1,1(，)1,1(，所以，2ln23|)|ln2()1(21221xxdxxxA．第7页共7页2．求由曲线2xy与直线xy所围成平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．解由xyxy2知，两曲线的交点为)0,0(，)1,1(．所以，10421022102)(][][dxxxdxxdxxV152)5131(1053xx．3．求由曲线cos4r（22）所围成平面图形的面积．解2222222222cos218cos8)cos4(21dddA4)2sin21(422。4．求曲线221xy上相应于x从0到1的一段弧的长度．解由题意知，10210221])2[(1dxxdxxs令txtan，则tdtdx2sec，且当0x时，0t；当1x时，4t，所以，4034022secsectan1tdttdtts)].12ln(2[21|)tansec|lntan(sec2140tttt