拓扑优化和有限元方法

使用拓扑优化和有限元方法设计优化多孔材料结构的刚度及渗透率JamesKevinGuest摘要：拓扑优化是寻找工程设计问题最优解的一种工具。这些最优解满足性能指标的同时，也可以最小化成本、重量或选择反应，从而可能提供了巨大的利益。拓扑优化方法已被用来确定分布在梁上的材料及机制，并设计周期材料的微观结构，例如，弹性极限的性质。这项工作的目标是扩展拓扑优化设计周期从而最大化材料的刚度和渗透率。为了实现这一点，该方法提出了规避数值不稳定性、刚度和流体运输困难的优化。特别是，网格依赖性和棋盘的刚度问题是克服对结构施加最小长度范围内的部分。拟议的方法实现了节点设计变量，通过正规化海维塞功能投射元空间。这种技术是产量的近0-1所示(固)解决方案，满足尺度标准。这种方法还联合建立了数值均匀化方法设计一个长度尺度材料极弹性性能。最大流体输送问题，一个新的达西-斯托克斯有限元的固-液界面的二值运动边界无滑移条件正规化。元的规模，以便通过空隙和固体流体流动是受Stokes流和达西渗流，分别。在低渗透材料时，是使用技术，成功地模拟了无滑移条件，创造了近0-1的最优拓扑。这也适用于周期性材料设计，在均匀化理论的数值实现。与数值困难克服和液体的逆均化配方开发,模块组合设计一个多功能材料优化的有效刚度和渗透率。这些属性是相互竞争的,因此最终的设计依赖于设计师的相对重要性分配各自的目标函数。设计师选择这些值根据材料的用途,从而调整微观结构的具体应用。目录1.介绍拓扑优化12.最低合规问题和数值并发症72.1最低合规问题72.2并发症:整数规划问题102.3并发症:病态问题132.3.1缓和152.3.2限制162.4并发症:非凸问题213.最小的凸配方和算法合规问题233.1一个凸配方243.2恢复体积分数的上界273.3找到最佳的体积分数3.4解决方案通过一个内点算法293.5消除中间体积分数323.6消除棋盘模式353.7算法的总结363.8结果373.9结论424.控制长度尺度INTOPOLOGY优化434.1实施最小长度范围内434.1.1识别节点454.1.2线性投影函数464.1.3解决最低合规问题节点设计变量484.1.4线性投影函数的结果524.1.5获得0-1的解决方案以非线性投影函数564.1.6非线性投影函数的结果604.1.7指出基于节点的算法644.2实施规模最大长度674.2.1最大长度规模制定674.2.2最大长度范围内罚函数704.2.3.解决最低合规问题最小和最大长度尺度标准724.2.4最大长度尺度的结果735.年拓扑优化的流体流动785.1斯托克斯流优化问题795.2离散优化设计问题815.3达西流模拟无滑动条件正则化855.4无滑动的条件收敛885.5解决92年放松的优化问题5.6结果966.设计最优的周期性结构材料1046.1设计的周期材料最大化有效渗透率1076.1.1均匀化的斯托克斯流6.1.2表示1136.1.3有限元表示1136.1.4优化问题制定1146.1.5优化算法1156.1.6实现问题1186.1.7二维各向同性最大化渗透设计1206.1.8三维各向同性最大化渗透设计1246.1.9结论1286.2设计的130年周期最大化有效刚度的材料6.2.1弹性均匀化方程6.2.2设计规定的材料弹性性质:问题公式化1336.2.3实施周期性材料设计最小长度范围内1356.2.4设计材料与极端的弹性:问题公式化1376.2.5优化算法1456.2.6实现问题1476.2.7设计极端的二维弹性性能的材料1496.2.8设计材料与极端的3d弹性属性1526.2.9结论1576.3定期多功能材料设计:优化都有效渗透率和有效刚度1586.3.1提出的多目标问题公式化1596.3.2优化算法1606.3.3这时实现问题1636.3.4得到设计三维周期性材料最大化有效刚度和渗透率1656.3.5结论1687.结束语171参考文献176作者鸣谢首先，我感谢我的导师教授JeanH。Prévost，他激发了我在计算方法方面的兴趣。在这工作他提供了指导和宝贵的见解，并显示了作为一个讲师和一个老师的宝贵品质。我感谢乔治教授对本文的第二个读者服务坐在我的委员会与教授Ilhan阿克塞和罗伯特·范德贝，所有的人在这工作提供了有见地的建议。我还要感谢教授西北大学的泰德Belytschko他的建议对我们的技术为了实现最小长度尺度。本研究支持部分由NASA大学研究、工程和生物材料技术研究所(BIMat)奖号NCC-1-02037和美国国家科学基金会奖号CMS-9988788，CTS-0003882，CMS-0075998与项目总监JornBasse，Mikail赖尔德石油，和Clifford阿斯蒂尔，分别。这种支持感谢。我的朋友，帮助我在一种或另一种方式生产，本文中特别是迈克Tantala，尼玛拉赫巴尔，鲍威尔Draper肖恩·伍德拉夫，麦克娜玛菈：谢谢你让我在这里的时间在普林斯顿愉快！我的家人，我非常感谢你的鼓励和支持。最后，我的妻子乔安娜，言语无法表达我的感激之情，谢谢您的耐心，爱，和支持–没有你我不会完成这项工作。1、介绍拓扑优化有效地利用材料是所有工程领域感兴趣的一个话题。大多数设计师的目标是实现工程性能规范的解决方案,减少成本,减少体重,和/或最小化或最大化选择反应。实现这些目标的好处可以影响深远的和实质性的。一个工具,可以帮助设计师在追求这些目标的结构优化。工程师们传统上依赖于直觉和经验在发展中设计新问题。结构优化,另一方面,是一个数学规划技术优化现有材料的布局,甚至优化材料微观结构本身,裁剪它根据其未来使用。有三个主要类别的结构优化方法:尺寸优化、形状优化和拓扑优化。在分级优化问题,建立了设计领域,固定和目标是确定最优的大小或厚度成员组成域。例如,找到最优的横截面积桁架成员或一盘的厚度板在每一个位置。形状优化问题的目标是确定最优形状的领域,该领域是设计变量。形状优化,例如,可以用来改变所需的孔的形状,以避免应力集中在给定负载(西格蒙德2000)。图1.1和图1.1b演示在简支结构,大小和形状优化的目标是最大化刚度对于一个给定的重量。图1.1–示例(a)尺寸优化，(b)形状优化，和(c)拓扑优化。大小和形状优化需要的拓扑,或特性,事先已知的领域。的数量和连接图1.1中的桁架元素保持不变,而孔的数量保持不变在图1.1b。另一方面,拓扑优化设计功能域内,包括孔的数量和位置和连接材料。图1.1度说明了这一观点。因此被认为是最通用的技术,材料可以自由放置(主题设计约束)整个设计领域。立足于桁架设计可以追溯到20世纪早期(1904年米歇尔),拓扑优化经历了一个从第一个数值实现后重燃兴趣,因为第一个连续介质材料分布的数值实现方法由Bendsøe和Kikuchi(1988)提出。使用有限元素和均质材料组成的固体和空洞,Bendsøe和Kikuchi开发出一种技术来确定材料的最优分布在设计领域中的元素。Bendsøe人工材料(1989)提出了一个方法提供了一个使用均质材料在每个元素的替代品。这种方法提供了一种手段来确定是否每个元素是固体还是一片空白,连通性的固体元素定义拓扑。这些方法已经被应用到许多设计问题包括(但不限于)框架支撑的设计(Mijaretal.1998),隧道支持(YinandYang2000),生物力学植入(Folgado和Rodrigues1997)兼容的机制(如。、Ananthasureshetal.1994年)和结构进行局部应力约束(如,DuysinxBendsøe1998)和屈曲约束(如,Neves等。1995)。它也被用于设计最佳的结构振动响应(e.g.,DíazandKikuchi1992,Tcherniak2002),改善汽车防撞性(e.g.,Mayeretal.1996,Pedersen2004),和优化结构支撑位置(Buhl2002)。读者可参考Bendsøe和Sigmund(2003),在其中引用的调查应用程序。宏观设计问题和上面给出的例子一样,寻求利用给定的拓扑材料最有效的利用。因此,材料的选择,在设计过程中是关键的第一步。技术也存在同时选择最优材料和截面形状,例如,在地板托梁的设计,木材和钢材的候选人材料(韦弗和阿什比1996)。这些技术,然而,仍局限于现有的材料。像上面例子的宏观设计问题，寻求拓扑最有效的利用给定的材料。材料的选择，因此，关键的第一在设计过程中的步骤。同时选择最优的技术也同样存在材料和截面形状，例如，在地面搁栅的设计木材钢铁材料(WeaverandAshby1996)。但是，这些技术在现有的材料仍然有限。或者,可以使用拓扑优化设计材料微观结构、裁剪材料来实现所需的或极端的属性。基本理念材料可以被看作是一个小组织结构,允许应用拓扑优化方法为宏观开发设计问题。均匀化理论的发展,有效的(平均)周期性材料的属性可以通过分析预测一个基本单元,材料的最小重复单元。这些技术消除需要分析周期性的散装材料,一个巨大的和潜在的不可行的计算任务。拓扑优化问题因此减少设计的基本细胞周期材料。基本单元作为设计领域,目标是分发材料在规定的领域,或极端有效的属性实现。这种所谓的“逆均化”问题首先被Sigmund(1994、1994b、1994)解决了,去设计满足规定的最低重量拓扑弹性性质包括负泊松比。Sigmund(1994b)被雇佣使用这种方法设计最低重量材料,满足规定的热弹性属性。这些作品被扩展到设计与极端的弹性材料或热膨胀特性(SigmundandTorquato1997)。拓扑优化也用于设计压电复合材料(Sigmundetal.1998)和带隙材料(SigmundandJensen2003)。拓扑优化的两个区域保持相对未知的多孔结构的设计,最大化流体运输和多功能材料的设计。作者的知识,还没有应用于设计材料结构拓扑优化与最大渗透率。至于多功能材料,上述工作都集中在优化一个属性,往往同时需要一个下界房地产竞争。例如,SigmundandTorquato(1997)最小化各向同性应变系数而实施的有效体积弹性模量的下限。最近才尝试是一个多目标问题:Torquatoetal.(2002、2003)复合材料用于最大化同时传输电力和热力,属性,都是由标量方程。两个地区保持相对未知的拓扑优化设计多孔结构，最大限度地提高流体输送和多功能的设计材料。这位作者的知识，尚未应用拓扑优化最大渗透的材料结构设计。至于多功能材料，上述工作都集中在优化单个属性，而经常需要竞争属性上下限。例如，西格蒙德和托尔夸托(1997)各向同性应变系数，同时强制实施最小化一个下界有效体积模量。只有最近被尝试的多目标问题：托尔夸托等。(2002、2003)使用复合材料同时最大化热和电的运输，都是由标量方程支配的属性。本文的目标是开发一种多功能材料优化的方法。特别设计的最大有效刚度和渗透的材料。这两个属性之间的竞争，刚度欲望大量的固体，而渗透的欲望拓扑中的大洞。最终的设计是那么依赖的重量，或重要性，由设计师在目标函数中的刚度和运输条件的分配。设计师选择基于材料将来使用这些值，从而使组织能够定制根据具体应用。实现这些目标所需完成四项主要目标，确定为如下：•消除数值不稳定性(网格依赖性和棋盘)在发展中国家的最大刚度拓扑优化问题的方法实现最小长度尺度构件设计中。•最大流体输送问题，开发一个技术坚持条件，以便不断逼近的数学编程技术，可以用来求解Stokes流的拓扑优化问题。•建立数值实现流体渗透的均匀化理论，制定和解决同质化反问题的周期结构的有效渗透率最大化。本文的布局如下。2章介绍了刚度最大(最低)的拓扑优化问题，并探讨了相关的困难和数值不稳定性。3章提出了凸制定最低法规遵从性问题和算法，可以避免原问题的非凸，并允许使用强大的凸优化技术。实施一个最小长度对结构构件，以消除传统的数值不稳定性的新方法是在4章介绍。技术提出了实施规模最大长度。5章介绍了拓扑优化方法在Stokes流的流体。特别是，达西流的正则化建议使用达西-斯托克斯结合有限元近似条件。在三章