振动与日常生活

《机械振动与数学的关系》论文学院：理学院姓名：刘永青学号：201321910104班级：经济数学1301机械振动与数学的关系摘要：振动是物理学技术科学中广泛存在的物理现象，描述振动现象的数学形式是多种的。介绍了振动存在的普遍性与振动研究的发展过程及其应用；分析了数学方法在振动及动力学研究和应用中的特点；阐述了以数学模型分析求解振动问题的基本思想。本文就单自由度线性振动系统和多自由度与连续振动系统，非线性振动系统的数学特点进行了讨论。关键词：机械振动数学线性振动非线性振动Abstract:Vibrationisaphysicalphenomenonwhichexistsintechnicalscienceofphysicswidely.Theequationofvibrationisalwaysnon-linear.Thepopularity、developmentandapplicationofvibrationareintroduced.Theprinciplemethodsofmath-model-analysisarealsodiscussed.ThevibrationfocusesarestudiedwiththeseMathmethods.Themathexpressions,requests,conclusionsandcharacteristicsinglefreedomlinearsystemmulti-freedomsystem,andnonlinear-systemarestudied.引言振动无处不在。大到宇宙，小到微粒子，均存在振动现象，皆表现为各自的动力学行为。从广义上讲月亮的圆缺，潮汐的涨落，树木的年轮，人口的增长与衰减，农作物虫灾发生的周期，股市的涨跌与震荡，经济发展速度的变化等也具有振动的共性。对振动和动力学的研究为人类认识世界和改造世界提供了无限的想象力和动力。公元前4000年出现的语言、音乐与乐器是人类进化和应用振动的典型实例。公元132年张衡发明地动仪在中国科学史上具有重要意义。振动理论与相关技术已经广泛应用于采矿、冶金、煤炭、石油、化工、机械、水利、电力、土木建筑、建材、铁路与公路交通、轻工与食品、农业、生物、信息、医疗等许多领域[1]。1673年huygens对摆钟开始研究到上个世纪末,振动及动力学主要是少数物理学家和应用数学家所关心的科学现象。许多伟大科学家为动力学和振动学的创建和发展以及数学的进步做出了卓越的贡献。上世纪以来迅猛发展的航空航天，机械，车辆，船舶，土木，控制，通讯等工业，促使人们对机械结构，电路中的振动现象进行深入研究。这使得线性时不变系统的振动理论形成了完整体系。非线性振动理论得到了很大发展。从五官和脏器对外部信号的感知过程及其工作原理也可以发现振动与动力学行为研究的重要性。由此推广到对大脑和神经系统的研究，对人类自身的认识可能出现突破性的进展。机械振动定义为：在一定条件下振动体在其平衡位置附近所做的往复机械运动。按照能量交换的观点，可以发现振动表现为能量从一种形式转化为另一种形式。因此可以建立以位移与力等物理量为协调参数的微分方程式来描述振动，也可以从能量角度来描述。今天人们对世界的认识已经从静态发展到动态。振动与动力学已成为一门重要的工程科学。不仅具有完整的理论体系而且应用于无数成功的工程应用与实践。工程科学的共性是对工程问题引入假设或进行简化。运用基础科学的基本原理建立数学模型,通过数学分析与处理。揭示工程问题的本质，并用于指导工程实践。这一思想让研究者可以从数学角度深入研究动力学问题。如果考虑到物理系统的相似性.研究对象可以由此推广到多个领域!其中数学模型是重要的工具和纽带,可以仅仅依靠对数学模型的分析去解析物理现象，也可以利用数学模型进行彼此仿真,升华物理现象后面的数学共性本质[7]。因此振动和动力学研究与数学研究彼此促进，推动着人类不断认识客观世界。振动是物理学技术科学中广泛存在的物理现象，如建筑和机器的振动，无线电技术和光学中的电磁振动，控制系统和跟踪系统中的自激振动等等。这些表面上看起来不同的现象，都可以通过数学振动方程统一到振动理论中来。严格的讲，描述这些振动现象的方程式大多是非线性的。对于那些非线性因素很弱而又不从根本上影响计算结果的问题就可以用线性方程来代替非线性方程。对于很多振动问题，这种简化是合理的，而对某些问题，这样简化会给结果带来很大的误差，甚至会带来本质的变化。例如地基振动是一种常见的振动现象，实际中为了降低地基振动的不良影响，以保证仪器设备的正常工作，对生产现场的精密仪器和设备通常需要采用隔振措施。近年来，随着现代科学技术的高速发展，隔振系统的工作环境日益变得复杂和恶劣，因而对隔振系统的设计和完善越来越引起人们的关注。常用的隔振器有钢丝绳，钢丝网，金属橡胶等。典型的隔振材料（如橡胶，空气等）具有显著的硬弹簧特性，即具有明显的硬非线性[5]。目前已有人研究了由地基振动激励的隔振体非线性动力响应，采用了变形的3次多项式函数表征隔振材料的非线性刚度，建立了被动隔振体的非线性动力学方程。1.简谐振动是最简单、最基本的振动对简谐振动的分析是通过一个理想模型—弹簧振子来进行的。所谓弹簧振子是由轻质弹簧和小球所组成的作摩擦振动的振动系统。对其构建数学模型进行振动分析，极大地方便了人们对振动的研究。其方法是把其放在光滑水平面上,轻质弹簧一端固定,将小球拉伸(或压缩)一定距离后释放,则小球将在弹性力作用下于平衡位置0点附近左右振动起来。对其进行数学描述和研究。2.单自由度线性振动系统数学描述定义广义主动力为自变量及一阶导数的线性函数的系统为线性系统。满足齐次迭加性。下面给出一个自由度线性振动的数学微分方程描述关系式mx’’+cx’+kx=f(t)，该方程描述了系统的输入输出特性。现在来分析研究该微分方程及其演变。每一个演变对应着确切的物理现象，要发生振动必须同时出现质量和刚度项。如果不出现二阶项，则系统为一阶系统。表现为外载对系统在阻尼环境下的“充放”行为。这些关系式都与物理现象相对应。当不出现阻尼项时，称为无阻尼振动系统。此时如再无外力作用，则为无阻尼自由振动。当固有频率与激励频率相等时,振幅出现无穷大,称为共振.共振实际振幅可以推导出。共振振幅增大是需要时间的，即需要吸收能量来支持系统，所以可以用快速通过共振区来削弱共振的不利影响，后面将看到阻尼在共振区将发挥非常重要的作用。当然为了求解，可以通过直接积分。如果存在阻尼项，则将出现以下几点变化。一是当阻尼大于或等于临界阻尼时，系统将不会出现振动运动。二是振幅极值点位置与固有频率将不重合。阻尼对处于共振区的振幅影响非常大。也就是说，可以通过改变阻尼的大小来控制振幅值。上面的分析表明。数学是研究振动及动力学问题的基础，振动及动力学问题采用数学分析方法显得思路清晰灵活易懂。对解的解释与实际问题完全相符。工程应用非常方便，推而广之。将微分方程看成测试控制系统的一个或几个环节，甚至整个系统[6]。对我们理解怎样设计系统、选择元器件都具有重要的指导意义。对深入领会和学习经典控制理论也具有很大的帮助。同时，数学描述和解形分析给振动控制系统动态设计与优化提供了极佳途径。3.多自由度与连续振动系统数学描述对于多自由度质点系。可以建立微分方程组，得到离散振动系统的一般运动微分方程形式[3]。为系统的独立坐标数即自由度数由于各个质点间往往是耦合的，求解方程组可得到各高阶模态参数和振形。通过对矩阵对角化完成解耦，求解多自由度系统往往需要通过计算机计算来得到解’具有分布参数及连续参数系统的运动微分方程。分布参数系统具有无限多个自由度(因此与其对应的特征解由无限多个特征值和特征向量组成。但是实际工程问题不可能也没有必要得到完全的特征解，通常只需要获得较低的数阶特征值和特征向量。因此对连续系统的求解均采用在空间离散化后用离散分析方法来处理而有限元方法就是在这种需求下产生和发展起来并在求解多自由度动力系统振形和模态参数中得到广泛应用。多自由度系统和连续系统离散后的系统存在多个固有频率在阻抗实验时表现为有多个共振区在幅频特性曲线中表现有多个峰值，在奈魁斯特图中表现为有多个环它们之间在数学上存在完美统一，除了应用有限元求得数字解外，采用实验模态方法进行动力系统参数识别的方法也得到了广泛的应用，为解决工程问题做出了突出贡献。4.非线性振动系统的数学描述前面所讨论的线性系统均满足线性迭加原理，然而当广义力是自变量及一阶导数的非线性函数时，就成了非线性系统，此时系统不满足齐次迭加性。产生非线性振动的原因主要是物理和几何两个方面：几何非线性表现为弹性力偏离虎克定律变形过大进入塑性区或弹塑性区。而物理非线性是因为结构变化材料内摩擦造成粘弹性材料的本构关系非线性和阻尼非线性。事实上许多系统都存在非线性，只是很多时候忽略了非线性的影响。与线性系统不同的是非线性系统除了少数几个特殊方程可以求得解析解外，大多数只能获得数值解。许多方程可以通过相图作定性解释，并获得有价值的信息来判断系统的特征及稳定性。非线性振动主要特征表现为，对于单自由度非线性系统可能产生多解、跳跃、亚谐共振、超谐共振。对多自由度而言，除去前面提到的外，还会发生内共振、组合共振等复杂的动力学行为。其中混沌现象引起了众多科学工作者的兴趣，混沌运动是一种由确定性系统产生对于初始条件极为敏感而具有内禀随机性和长期不可预测性的往复非周期运。求解非线性系统的基本方法有相平面法、作图法、小参数法、谐波系数平衡法、平均法等[4]。结束语振动与动力学问题的数学描述的完美性体现为和谐统一（简洁完备）整齐对称与奇异[1]。通过上面的分析，我们还可从下面的描述中加深对线性有阻尼自由振动的体会(从数学方程看是一个衰减振动，最后系统会处于静止状态。)混沌系统存在奇异吸引子对自激振动系统。对自激振动系统,极限环吸引子是大家所认同的。研究表明有的系统不只存在一个稳定极限环。在条件满足时，会出现系统跃迁到更大的极限环。还有许多事例可以证明数学在振动学中的重要地位，并且也可以从数学角度体会振动和动力学的美。振动与数学完美的结合与应用，为人们的生活提供了极大的便利。参考文献：[1]闻邦椿.振动利用工程[M].北京:科学出版社,2005.[2]胡海岩.对振动学及其发展的美学思考[J].振动工程学报,2000,13,1[3]陈新.机械结构动态设计理论方法及应用[M].北京:机械工业出版社.1997.[4]闻邦椿，障旋转机械非线性动力学的理论与实验[M].北京:科学出版社.2004.[5]陈建军,车建文.基于概率的工程结构动力特性优化设计[J].应用力学学报,2000,17(1):29-36.[6]陈建军,车建文,崔明涛,等.结构动力优化设计述评与展望[J].力学进展,2001,32(2):181-192.[7]董长虹,高志,余啸海.Matlab小波分析工具箱原理与应用[M].北京:国防工业出版社,2004.