期末模拟题2答案

高等数学（2）标准化作业题—模拟题111高等数学（2）期末复习模拟题二参考答案一、单项选择题（每小题3分，共18分）1.设1,2,1,3,1,2ab，则baPrjB.（A）3（B）314（C）1（D）1142.空间直角坐标系中，方程2222xyzab表示的二次曲面是D.（A）双叶双曲面（B）单叶双曲面（C）椭圆抛物面（D）双曲抛物面3.曲面222zxxyy在点2,3,1处的法线方程是A.（A）231221xyz（B）231221xyz（C）231221xyz（D）231221xyz4.设转化为极坐标后，IB.（A）π2200dcos,sindf（B）π2sin200dcos,sindf（C）π2cos200dcos,sindf（D）π2cos400dcos,sindf5.2222dd()()LyxIxyxyxy，因为22222()PQyxyxxy，所以C.（A）对任意曲线,0LI（B）在L包含原点时0,I不包含原点时，0I（C）在L为不含原点的闭区域的边界曲线时，0I（D）因为Py，Qx在原点不存在，故对任意曲线，0I6.微分方程256exyyyx的一个特解应该具有形式A.高等数学（2）标准化作业题—模拟题112（A）2exxaxb（B）2exaxb（C）2exax（D）2exa二、填空题（每小题3分，共18分）1.设方程ezxyz确定隐函数,zzxy，则dzddeezzyzxzxyxyxy.2.函数222zxy在点1,1P处沿P点向径方向的方向导数为32.3.已知空间曲线22222:xyzxy，则曲线积分22edxys222eπ.4.级数321215nnn发散.5.设幂级数1nnnax在3x处发散，在2x处收敛，则级数1nna收敛.6.微分方程340yyy的通解为412eexxyCC.三、计算题（每小题6分，共54分）1.求过点1,2,3且与直线3210:21030xyzLxyz平行的直线方程.解：L的方向向量132281472110ijksijk由题意，所求直线的方向向量可取为4,2,1，所求直线方程为123421xyz2．设,yzxfx其中f二阶可导，求2zxy.解：2zyyfxfffxxx，22111zyyffffxyxxxxx高等数学（2）标准化作业题—模拟题1133．计算110sinddyxyxx.解：111000sinsinddddxyxxyxxyxx1100sindcos1cos1xxx4.求由圆柱面222xya和平面0,0zzhh所围成的圆柱体对z轴的转动惯量（设圆柱体密度1）.解：所求转动惯量为2222ddzIxyvxyv2π2000dddahz430π2πd2aahh5.计算曲线积分222233d35dLIxyyxxxyxyy，其中L为上半椭圆22410xyy由点1,0A到点1,0B的一段弧.解：222233,35PxyyxQxyxy23,23,,PQPQxyxyyxyx积分与路径无关1,011222311,0133d3d2Ixyyxxxxx6.计算曲面积分333ddddddIxyzyzxzxy，其中为球面2221xyz的外侧.解：333222,,,3,3,3PQRPxQyRzxyzxyz记所围空间闭区域为，由Gauss公式2ππ1222220003ddd3sindIxyzvrrr高等数学（2）标准化作业题—模拟题114ππ0036122πsindπcosπ5557.判断级数1sin13nnnn的收敛性，若收敛，判断是条件收敛还是绝对收敛？解：记sin11sin333nnnnnnun,因为113nn收敛，由比较审敛法知1nnu收敛,所以原级数绝对收敛.8.求幂级数14nnnxn的收敛域.解：111141limlim,144nnnnnnnaan4,R收敛区间为4,4当4x时，原级数变为11nnn，收敛；当4x时，原级数变为11nn，发散.综上，所求收敛域为4,49.求微分方程d2lndyxyxxx满足初始条件119xy的特解.解：2,lnPxQxxx,所以该方程的通解为22ddelnedxxxxyCxx33222211lnln+lnd=+3939xxxCxxxCxxxCxxx由1111,,0999xyCC，所求特解为ln39xxxy四、应用题（10分）已知矩形的周长为2p，将它绕其一边旋转一周而构成圆柱体，求所得圆柱体的体积最大高等数学（2）标准化作业题—模拟题115值.解：设矩形的一边长为x，另一边长为y，圆柱体体积为V，则2πVxy问题转化为求2πVxy在条件xyp下的最大值.构造拉格朗日函数2,,,Lxyzxyxyp令22π0π0xyLxyLxxyp解方程组得21,33xpyp,由实际意义知最大值一定存在，所以一定在21,33xpyp处取得.最大体积23214ππ3327Vppp