控制工程基础第二章控制系统的动态数学模型.

第二章控制系统的数学模型2.0系统数学模型的基本概念2.1基本环节数学模型2.2数学模型的线性化2.3拉氏变换和拉氏反变换2.4传递函数以及典型环节的传递函数2.5系统函数方框图及其简化2.6系统信号流图及其梅逊公式2.7受控对象数学模型2.8绘制实际物理系统的函数方块图2.9控制系统数学模型的MATLAB实现本章要熟悉下列内容:(1)建立基本环节(质量-弹簧-阻尼系统、电路网络和电机)的数学模型及模型的线性化(2)重要的分析工具:拉氏变换及反变换(3)经典控制理论的数学基础:传递函数(4)控制系统的图形表示:方块图及信号流图(5)建立实际机电系统的传递函数及方块图(6)系统数学模型的MATLAB实现建立控制系统的数学模型,并在此基础上对控制系统进行分析、综合,是机电控制工程的基本方法.如果将物理系统在信号传递过程中的动态特性用数学表达式描述出来,就得到了组成物理系统的数学模型.经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础.而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程为基础.而以物理定律及实验规律为依据的微分方程又是最基本的数学模型,是列写传递函数和状态空间方程的基础.2.0系统数学模型的基本概念数学模型:是描述系统输入、输出量以及内部变量之间关系的数学表达式,它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系.建立数学模型的方法解析法:依据系统及元件各变量间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式,建立模型.实验法:人为地对系统施加某种测试信号,记录其输出响应,并用适当的数学模型进行逼近.这种方法也称为系统辨识.数学模型应能反映系统内在的本质特征,同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑.数学模型的形式时间域:微分方程、差分方程和状态方程复数域:传递函数和函数方块图频率域:频率响应特性2.1基本环节数学模型2.1.1质量-弹簧-阻尼系统机电控制系统的受控对象是机械系统.较大惯性的构件:抽象为质量块较小惯性且柔度较大的构件:抽象为弹簧这样受控对象的机械系统可抽象为质量-弹簧-阻尼系统进给传动装置(a)结构示意图;(b)等效力学模型(a)结构示意图(b)等效力学模型机械系统中以各种形式出现的物理现象,都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素:组合机床动力滑台及数学模型控制系统微分方程的列写质量:假设弹簧和阻尼器运动部分的质量忽略不计,运动部件的质量是集中参数.则运动部件产生的惯性力为:弹簧:设弹簧的变形在弹性范围内,k为弹性刚度,则弹性力为:22)(dtxdmtvdtdmfm对于不同的弹簧,受力相同,变形量不同.阻尼:阻尼器的阻尼力为机械平移系统(质量-弹簧-阻尼系统)式中:m、D、k通常均为常数,故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述.显然,微分方程的系数取决于系统的结构参数,而阶次等于系统中独立储能元件(惯性质量、弹簧)的数量.根据牛顿定律:可整理此即机械平移系统以外力f(t)为输入信号,位移xo(t)为输出信号的运动方程式,即数学模型.)()()()(00202tftkxdttdxDdttxdmi)()()()(000tftkxtxDtxmi弹簧-阻尼系统当质量M很小可忽略不计时,系统的运动方程变为一阶常系数微分方程.)()()()()()(00tftkxtxDtftftfikDi1机械旋转系统J-旋转体转动惯量;k-扭转刚度系数;D-粘性阻尼系数.此即机械旋转系统以齿轮角位移为输入信号,角位移θo(t)为输出信号的运动方程式,即数学模型.2.1.2电路网络电路网络由三个基本元件:电阻、电容和电感.电阻:电容:电感:R-L-C无源电路网络一般R、L、C均为常数,上式为二阶常系数微分方程.若L=0,则系统简化为:此即R-L-C串联电路的数学模型,它描述了输入ui(t)和输出uo(t)之间的动态关系.dttiCtututututRidttdiLCoiC)(1)()()()()()()()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo有源电路网络2.1.3电动机aTKTiimaaeeiRdtdiLttDtTttJood)(d)(d)(d22基尔霍夫定律电磁感应定律moeedtdK牛顿第二定律为电枢控制式直流电动机的控制系统的动态数学模型,系统输入是电动机电枢输入电压,输出是电机轴转角.当电枢电感较小时,通常可忽略不计,系统微分方程可简化为二阶系统:消去中间变量,得到复杂数学模型建立的一般步骤(1)分析系统工作原理和信号传递变换的过程,确定系统和各元件的输入、输出量;(2)从输入端开始,按照信号传递变换过程,依据各变量遵循的物理学定律,依次列写出各元件、部件的动态微分方程;(3)消去中间变量,得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程;(4)标准化:右端输入,左端输出,导数降幂排列.a0,a1,a2,…,an和b0,b1,…,bm为由系统结构参数决定的实常数,mn.单输入、单输出线性系统的微分方程的数学模型的一般形式如下:txbtxbtxbtxbtxatxatxatxaimimmimiononnono111011102.2数学模型的线性化数学模型线性化问题的提出:(1)几乎所有的实际物理系统都是非线性的:机械系统中的高速阻尼器,阻尼力与速度的平方有关;齿轮啮合系统由于间隙的存在导致的非线性传输特性.(2)非线性系统的理论还不完善,求解非线性系统也很复杂.(3)线性系统的理论相当成熟:将非线性系统简化为线性系统,利用线性系统理论解决非线性系统是解决问题的一个方法.实际的系统通常都是非线性的,线性只在一定的工作范围内成立.为分析方便通常在合理条件下将非线性系统简化为线性系统处理.泰勒级数展开法:函数y=f(x)在其平衡点（x0,y0）附近的泰勒级数展开式为:非线性系统数学模型的线性化方法略去含有高于一次的增量Δx=x-x0的项,则:或：y-y0=Δy=KΔx，由于反馈系统不允许出现大的偏差,因此,这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际意义.对多变量系统,如:y=f(x1,x2),同样可采用泰勒级数展开获得线性化的增量方程.实例:单摆运动线性化解:根据牛顿第二定律:将非线性项sinθ0在θ0=0点附近泰勒展开,实例:阀控液压缸液压缸工作腔流量连续性方程：dtydQA液压缸力平衡方程：2.3拉氏变换及反变换对于利用微分方程表达的数学模型形式,手算是很麻烦的.利用拉氏变换,可将微分方程转换为代数方程,使求解大为简化,故拉氏变换成为分析机电控制系统的基本数学方法之一.2.3.1拉氏变换定义函数x(t)的拉普拉斯变换定义为:dtetxtxLsXst0ˆ其中s=σ+jω(σ,ω均为实数)dteetxdtetxdtetxsXttsttj0tj-00拉氏变换存在的条件:(1)当t0时,x(t)=0;当t0时,x(t)在每个有限区间上是分段连续的;(2)存在一正实数σ,使得:0limtxett拉氏反变换L－1为拉氏反变换的符号.0,21ˆL1tdsesXjsXtxstjjX(s)称为函数x(t)的拉普拉氏变换或象函数,它是一个复变函数;x(t)称为X(s)的原函数;L为拉氏变换的符号.dtetxtxLsXst02.3.2简单函数的拉氏变换1.单位阶跃函数(1(t))单位阶跃函数的拉氏变换:幅度为A的阶跃函数的拉氏变换为:0,10,0)(1tttt10u(t)ssedtedtettLststst1)(1)(1000sAdtetAtALsLst0)(1)(1)(2.指数函数atetx)(（a为常数）指数函数的拉氏变换:()00()01()1()11atatstsatsatLetetedtedtesasa3.正弦函数和余弦函数正弦函数的拉氏变换:2cos;2sinsincossincostjtjtjtjtjtjeetjeettjtetjte，；220)(0)(011212121)(1sin)(1sin)(sjsjsjdtejdtejdtettttLsXtjstjsst余弦函数的拉氏变换:220)11(21)(12)(1cos)(1cos)(ssjsjsteeLdtettttLsXtjtjst4.单位脉冲函数(δ(t))P28例2-10000tt0001lim)(0或tttttt00000011lim1lim1lim)(00000000stttstttsttestsetdtettL11lim000000stdtdedtdstt由洛必达法则：25.单位斜坡函数0,0,0)(ttttft10f(t)1单位斜坡函数的拉氏变换:2000011|)(sdtesstedestdttetfLstststst斜率为A的斜坡函数的拉氏变换为:20)()(sAdtAtetAfLsFst6.单位加速度函数0,210,0)(2ttttf032121)(sdtettfLst7.幂函数函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换得到。ttn10101!11nunnstnnsndueusdtetttL拉氏变换积分下限的说明:在某些情况下,函数x(t)在t＝0处有一个脉冲函数.这时必须明确拉氏变换的积分下限是0-还是0+,并相应记为:0000dtetxtxLdtetxtxLdtetxtxLststst2.3.3拉氏变换的性质1.叠加原理显然,拉氏变换为线性变换.若L[x1(t)]=X1(s),L[x2(t)]=X2(s)则L[ax1(t)+bx2(t)]=aX1(s)＋bX2(s)2.微分定理),0()(xssXtxdtdLtxdtdLssxdtetxdtdssxtdxsesetxdestxdtetxtxLststststst1)0()(1)0()(|)(1)()(00000证：)0()(SxssXF即0)0(ttxx?)0()0(xx3当x(t)在t=0处具有间断点时,dx(t)/dt在t=0处将包含一个脉冲函数.故若x(0+)≠x(0-),则:)0()()0()(xssXdttdxLxssXdttdxL零初始条件(当x(0)=0,x(1)(0)=0,…,x(n－1)(0)=0时))0(000)()0(0)(12211222nnnnnnnxsxxsxssXstxdtdLxsxsXstxdtdL)(sXstxdtdLnnn3.积分定理,01sxssXdttxL01)0(tdttxx当初始条件为零时ssXdttxL若x(0+)≠x(0-),则sxssXdttxLsxssXdttxL